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随机事件与概率 一、主要概念及公式 样本空间：随机试验所有可能结果的集合. 随机事件：样本空间的子集. 频率：事件A发生次数与试验次数的比A在试验中发生的可能性大小的、介于0与1之间的数称P(A)事件A的概率满足非负性、规范性、可列可加性(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同 . 概率的古典定义:在古典概型时, 条件概率：设A、BP(A)0, 称为B发生的概率. 独立性:设A,B是两个事件,若则称A,B相互独立. 事件的关系： 概率性质：(1) (2) 特别的， (3) (4) 推广: 加法公式： 乘法定理: 独立事件的乘法公式： 推广到有限多个独立事件： 全概率公式:(1)事件(2) 则 独立试验序列：独立试验序列中，设P(A)=p,则n次试验中事件A恰发生m次的概率为 随机试验：具有以下三个特点的实验 (1)可在相同的条件下重复进行； (2)每次实验结果可能不止一个；(3)实验前不能确定哪个结果会出现.(1)非负性:；(2)规范性： (3)可列可加性:则有 5只球，其中3只白球2只黑球，一次从袋中任意取两球， 观察其颜色,写出此随机事件的样本空间。【={两白,一白一黑,两黑}】 设AA，B，C(4) 至少有两个发生 ； (5) 最多有一个发生 . 【,,】 设A, B为相互独立的事件,求【0.88】 设A,B为两事件,求【0.5;0.1】 设A,B为两事件,求【0.3;1】 设随机事件及的概率分别为0.4,0.3和0.6,求， 【1/3；0.1；0.3】 设,,,求,. 【】 口袋中一装有3只红球，5只黑球，今从中任意取出2只球，求这2 只球恰为一红一黑的概率。【 】 一本有4本分册的文集，按任意顺序放在书架上，求将各分册按自左向右或自右向左的顺序排列的概率。 【】 一只口袋中有100只球，其中红球为10只，每次从中任取一只球， 取出后不再放回，求第三次才取得红球的概率？【】 某仓库中有10箱同样规格的产品，已知其中有5箱、3箱、2箱 依次是第一、二、三厂生产的，且三个工厂该产品的次品率依次为 ，现从这10箱产品中任取一箱，取得的这箱中任取一件产品， 求取得次品的概率。 【设A为任取一个产品为次品，设为取自第厂,i=1,2，3 】 某工厂有一、二、三3个车间，生产同一种产品，每个车间的产量 分别占全厂的25%、35%、40%，3个车间中产品的废品率分别为5%、 4%、2%，求全厂产品的废品率。 【设A表示全厂产品的废品率,表示任取一件产品是第i车间生产的， 。 】 某人带有n把钥匙去开自己的房门，其中只有一把能打开. 他随机地 从中逐一任取一把去试开房门，试过的钥匙不再重试，求他第k次试开 时打开房门的概率（1≤k≤n）.【设=“第k次试开时打开房门”（1≤k≤n）， =“第i次试开时选对钥匙”，则 ， 】 转炉炼高级砂钢，每一炉钢的合格率为0.7，有若干炉同时冶炼，若 要以99%的把握至少炼出一炉合格钢，问至少要有几个转炉同时炼钢？ 【设=“任一炉炼出合格钢”, p=0.7 , B=“至少炼出一炉合格钢”, 则要求 即 解得n≈3.824, 取n=4. 】 第二章 一维随机变量及其分布 一、主要概念及公式 随机变量:设随机试验的样本空间为Ω={ω}，X=X(ω)是定义在样本空间 Ω上的单值函数，称X=X(ω)为随机变量。,, 且满足 (1)非负性: (2)规范性: 称为X的概率分布列。 四种常见的离散随机变量： (0—1)分布:随机变量 超几何分布：随机变量： 随机变量 泊松分布：随机变量 随机变量的分布函数：x为任意实数, F(x)=P(X≤x)称为X的分布函数.(1)0≤F(x)≤1;(2)F(x)是非减函数;(3)F(+∞)=1,F(∞)=0; 离散随机变量： 连续随机变量的分布函数是连续函数. 连续性随机变量及概率密度:随机变量可取得某一区间内的任何数值. 概率密度:对随机变量X,如果存在非负可积函数 f(x)(-∞x+∞), 使得 对于任意两个数a, b(ab),都有 则称f(x)为X的 概率密度. 连续随机变量: 概率密度的性质: (1)非负性: (2)规范性: 连续随机变量分布函数与概率密度的关系: 均匀分布(X~U[a,b]): 概率密度为(X~e[λ]): 概率密度为: 概率密度为 ① 标准正态分布N(0,1)的概率密度及分布函数： ② 标准正态分布N(0,1)的分布函数的性质：