概率统计文科(成教1)第一周详解.ppt

* 有时往往求的是似然函数的对数的最大值 例14设 是来自总体X的样本，总体 的密度函数为 其中 是未知参数，求： （1）参数 的极大似然估计量。 的矩估计量； （2）参数 解： (1) = * 令 解得 的矩估计量为： (2) 似然函数为： 令 得 的极大似然估计为： * 十三 置信区间（区间估计） 上一节中，我们讨论了参数的点估计，只要给定样本观察值，就能算出参数的估计值。但用点估计的方法得到的估计值不一定是参数的真值，即使与真值相等也无法肯定这种相等（因为总体参数本身是未知的），也就是说，由点估计得到的参数估计值没有给出它与真值之间的可靠程度，在实际应用中往往还需要知道参数的估计值落在其真值附近的一个范围。为此我们要求由样本构造一个以较大的概率包含真实参数的一个范围或区间，这种带有概率的区间称为置信区间，通过构造一个置信区间对未知参数进行估计的方法称为区间估计。 * 定义 设总体X的分布函数族为{F(x;θ), θ∈Θ}，对于给定的α(0α1)，如果有两个统计量 使得 对一切θ∈Θ成立，则称随机区间 是θ的置信度为1-α的双侧置信区间 双侧置信下限； 双侧置信上限； 1-α置信度。 * 由定义可知，置信区间是以统计量为端点的随机区间，对于给定的样本观察值(x1,x2,…,xn)，由统计量 构成的置信区间 可能包含真值θ，也可能不包含真值θ，但在多次观察或试验中，每一个样本皆得到一个置信区间，在这些区间中包含真值θ的区间占100(1-α)%，不包含θ的仅占100α%。 做这样的讨论也是实际问题的需要， 某省委在制定下一年 度的计划时，需要估计粮食作物的 平均亩产量，如果提 供的估计值是500公斤每亩，实际不会恰好 500公斤每亩， 一旦低了按照500公斤每亩制定计划就会使人们心里不 踏实，如果能给出这样的估计：平均亩产量在 * 之间的概率很高，这样制定计划时就留有余地， 心里自然踏实。 13.1单个正态总体均值的区间估计 1.设(X1,X2,…,Xn)是取自总体X~N(μ,σ2)的一个样本，其中σ2已知，μ未知。试求出μ的置信度为1-α的置信区间。（方差已知） 解 由于样本均值 故 由标准正态分布上p分位点的定义可知 * u1-α/2 o uα/2 x φ(x) α/2 α/2 1-α 即μ落在区间 内的概率为1-α。 此区间称为μ的置信度为1-α的置信区间。 * 2 方差未知 正态总体N(μ,σ2)的均值μ的置信区间 由于方差σ2未知 则μ的置信度为1-α的置信区间为（方差σ2未知） * 定义 若X~N(0, 1)，Y~?2(n)，X与Y 独立，则 t(n)称为自由度为n的t—分布。 分布的分位数查询及概率意义 * 要求：对于正态分布和 分布要能够熟练地查找临界值 举例：对于 查正态分布表得 对于 查正态分布表得 对于 查 分布表 对于 查 分布表 * 例15设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计） 分别为6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0 设干燥时间总体服从正态分布 ，求 的置信度为0.95的置信区间：（1）若由以往经验知 （小时）；（2）若 为未知。 解 对给定的样本观察值计算得到 ， ， ， （1）已知 ，查正态分布表得到 * 因此， 的置信度为0.95的置信区间为 ［5.608， 6.392］。 （2）由于 为未知，查阅 分布表可得 因此， 的置信度为0.95的置信 区间为［5.558，6.442］。 * 由于时间较为仓促，不完整与 不连贯地方在所难免，敬请学员谅解 * 概率论与数理统计 * 1.研究对象：现实世界中随机现象的统计规律性 2.概率统计的起源： 两大问题 （1）赌博问题 （2）社会经济统计 3.主要内容：随机事件与概率、随机变量、 随机变量的数字特征及统计估计及假设检验等问题 .随机事件 1.1确定性现象与随机现象 (1)质量为 的物体受到外力 的作用，必然产生加速度 (2)投掷一粒骰子，观察它是否出现“1”点 随机现象经过大量重复试验会呈现出统计规律性， 本课程就是研究随机现象的统计规律性. * 1.2样本空间：把随机试验的一切可能发生的试验结果 所组成的集合称为试验的样本空间， 记作“ ”或“ ” 样本点：样本空间的每个元素就是试验的基本事件， 称为样本点。 随机事件：把随机试验的结果称为随机事件 简称事件 用 、 、 表示 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件 用 表示 不可能事件：在一定