概率论与数理统计期末复习指南详解.doc

概率论与数理统计期末复习指南 第一章 随机事件与概率 一、内容提要 1.事件的关系与运算 （1）包含:; （2）、至少发生一个:或（称为事件的和） 推广:至少发生一个:; （3）、同时发生:或（称为事件的积） 推广:同时发生:; （4）发生,不发生:或 或（称为事件的差） （5）不发生:（称为的逆事件或对立事件）; （6） 、互不相容（或互斥）:. 2.一些重要概率公式 （1）; （2）加法公式:; 推广:; （3）减法公式:; （4）条件概率:（表示发生的条件下,发生的概率）; （5）乘法公式:; （6）全概率公式: 是一互斥完备事件组, , 是任一事件,则有,该式称为全概率公式． （7）贝叶斯公式:设 是一互斥完备事件组, , 是任一事件,,则. 3.事件的独立性 若 、相互独立,则. 推广:相互独立,则. 4.二项概率公式 ,不发生的概率为,则在次的概率为 ． 特别地,． 二、典型例题 设表示三事件,用的运算关系表示下列各事件: (1)发生,与不发生. (2)与都发生,而不发生. (3)中至少有一个发生. (4)都发生. (5)都不发生. (6)中不多于一个发生. 或 (7)中不多于两个发生. 或 (8)中至少有两个发生. 或 设为随机事件,且,当与相互独立时,求,当与互斥时,求. 与相互独立时,,当与互斥时,. 设为随机事件,,,,则求,,. ; ; . 某球员进行投篮训练,设各次投篮是否进篮筐相互独立,且各次进篮筐概率相同.已知该运动员3次投篮时至少投中一次的概率为0.875,则其投篮命中率为多少?5次投篮至少投中2次的概率为多少? 【解】设投篮命中率为,则,, 5次投篮至少投中2次的概率为: . 设三个事件相互独立,且, ,则求. 【解】 , (舍去),所以. 从有5件次品,95件正品的100件产品中不放回地抽取3件,求下列事件的概率:(1)三件中恰好有2件次品;(2)第三件才抽到次品. 【解】设 ,则 (1). (2) . 两个盒子装有同型号的球,第一个盒子装有5个红球,4个白球;第二个盒子装有4个红球,5个白球.先从第一个盒子中任取两个球放入第二个盒子,然后再从第二个盒子中任取一球.求从第二个盒子中取到白球的概率. 【解】设 由全概率公式,得 . 将两信息分别编码为和传递出去,接收站收到时,被误作的概率为0.02,而被误作的概率为0.01.信息与传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息为,问原发信息是的概率是多少? 【解】 则由题意 , 由贝叶斯公式可知, 有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽是否发芽相互独立,求（1）这两颗花籽都能发芽的概率.（2）至少有一颗能发芽的概率.（3）恰好有一颗能发芽的概率. 【解】用分别表示2颗花籽能发芽,其中, (1) (2) (3) 为个相互独立的事件,且求下列事件的概率:(1)个事件全不发生; (2)个事件中至少有一个发生; (3)个事件不全发生. 【解】 (1) (2) (3) 第二章 一维随机变量及其分布一、内容提要 1.一维离散型随机变量的概率分布列（律） 设是一个离散型随机变量,它的取值为且 . 则称上式为随机变量的概率分布列. 概率分布我们可以简单列表如下,称为概率分布表 或 … … … … 性质:（1）非负性: ;（2）正规性: . 2.常见的离散型随机变量的概率分布及数字特征（期望、方差） （1）0-1分布（）:, 数学期望 方差. （2）二项分布:数学期望 方差. （3）（Poisson）: 数学期望 方差. 3.一维连续型随机变量的概率密度函数 若是随机变量,其分布函数为,如果存在非负函数,使得对于任意实数,有,则称是连续型随机变量,而称为的概率密度函数（简称密度函数）. 性质:; (3). 4. 常见的连续型随机变量的概率密度函数及数字特征（期望、方差） （1）均匀分布:密度函数 数学期望 方差. （2）正态分布 数学期望 方差.为标准正态分布的分布函数. （3）: 数学期望 方差. 5.随机变量的分布函数（用大写） 是任意实数,令,称性质: 是个单调不减函数（单调递增的函数）,即若,则; (3); (4)最多有可列个间断点,且在其间断点上是右连续的; (5)对任意实数 ． 6.离散型随机变量的分布函数求法 设的分布列为: … … 则 7.连续型随机变量分布函数的求法 .(一般也要分段讨论) 8.一维离散型随机变量落在某个区间的概率如何求:只需要看有几个在这个区间里,把对应的概率相加即可. 9. 一维连续型随机变量落在某个区间的概率如何求 方法（一）:求在某个区间的概率,只需要用密度函数