弹性力学基本理论2012讲述.ppt

第二叙述：圣维南原理第二种叙述：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系(主矢量及主矩都等于零)，那么，这个面力就只会使得近处产生显著的应力，远处的应力可以不计。要注意圣维南原理离不开“静力等效” 条件。 在左右边界上作用有一般分布的面力 根据应力边界条件应力分量在边界上满足 这种严格的边界条件很难满足的，这时可以应用圣维南原理利用静力等效条件代替上述边界条件 ，即在局部边界上使应力的主矢和主矩分别等于相应面力的主矢和主矩，即在的次要边界 上满足： 右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定； 左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。 如果给出的不是面力分布，而是给出单位宽度上面力的主矢和主矩 ，则在 的小边界上边界条件表示为 ⑴ 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相 同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题。 1.平面问题的基本方程及边界条件 平面问题 五、按位移求解平面问题 ⑵ 平面应力问题 平面域A内的基本方程: 平衡微分方程 （在A内） 几何方程 物理方程 （在A内） （在A内） 即: 应力边界条件 位移边界条件 （在 上） （在 上） S上边界条件: 8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。 按位移求解（位移法）─取 ， 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条件，从而求出 ， ；再求形变和应力。 2.解法─消元法 按应力求解（应力法）－－取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。 这是弹力问题的两种基本解法。 3. 按位移求解 ⑵ 将其他未知函数用 ，表示： 形变用 ，表示─几何方程; 应力先用形变来表示（物理方程）， 再代入几何方程，用 ，表示: ⑴ 取 ， 为基本未知函数； 将几何方程、物理方程代入平衡微分方程，按位移求解平面应力问题的微分方程为(b) 位移边界条件（c）用位移表示的应力边界条件（d） 按位移求解（位移法）的优缺点： 求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。 适用性广─可适用于任何边界条件。 例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。 (a) (b) 解：为了简化，设 位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。 代入式(b), (a) (b) 第一式自然满足，第二式成为 均属于位移边界条件，代入 ， 得 得 解出 在 处， 代入 ，并求出形变和应力， 六、按应力求解平面问题相容性方程 按应力求解时，以应力作为基本未知量，由只包含应力分量的平衡微分方程、边界条件求出应力分量，由物理方程求出应变分量。再根据几何方程求出应变位移分量。因位移边界条件一般无法改为用应力表示，因此位移边界问题和混合边界问题一般不能按应力求解。 （1）取 为基本未知函数； （2）其他未知函数用应力来表示。 从几何方程中消去位移 u、v ，得相容方 程（形变协调条件）： 代入物理方程，消去形变，并应用平衡 微分方程进行简化，便得用应力表示的相容 方程 对于平面应力问题，用应力表示的相容性方程 对于平面应变问题 （1）A内的平衡微分方程； （2）A内的相容方程； （3）边界 上的应力边界条件； （4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件。 归纳： （1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。 按应力求解平面应力问题 ，应力 必须满足下列条件： 同理 平面应力物理方程→平面应变物理方程：