分形，更加令人神往的数学天地.doc

分形，更加令人神往的天地 任景业 我们知道，点是0维的，线是1维的，面是2维的，体是3维的。这里的0，1，2，3都是自然数。自然数是无穷的，还有4，5，6，…。数，除了自然数外，还有分数，无理数，…那么，相应的，更高维（4，5，6，…）的数学空间是什么样子？维数是分数时，是无理数时，又会是什么样子呢？数学总是在寻找隐藏在事物背后的联系和模式，这些维数之间又是靠什么为纽带联系在一起的呢？ 诸多疑问的触发，是在我知道分形几何之后。 分形的提出 1967年芒德勃罗（B.B.Mandelbort）在美国的《科学》杂志上发表两页多一点的报告《英国海岸线有多长?统计自相似与分数维》，蜿蜒曲折的一段海岸线无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑一块磁铁像整体一样具有相同的磁场，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁南北两极。J.斯韦夫特(J.Swift1667～1745)的一首打油诗：“博物学家看仔细，大蚤身上小蚤栖；更有微蚤叮小蚤，递相啮噬无尽期。”近似的这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。? 1906年，数学家科赫(H.von Koch)提出了如何构造能够描述雪花的曲线，如图3。 1915年，波兰数学家希尔彬斯基（Sierpinski）构造了一批千疮百孔的平面与立体图形，人们分别称之为希尔彬斯基垫片、地毯及海绵等。 希尔彬斯基的垫片的构造方法如图4所示。 希尔彬斯基地毯和希尔彬斯基海绵的构造方法，如图5所示。我们不难想象他们的构造过程。 显然，上面这些图形都具有自相似性。正是对这些现实中和数学上自相似图形的研究，1977年芒德勃罗出版了《分形对象：形、机遇与维数》，1982年出版了《自然界的形几何学》，完整地给出了“分形”和“分数维”的概念，同时提出了分数维数的定义和算法。——数学的一个新的分支诞生了。 那么，什么是分数维数呢？ 三、分数维 我们先考虑几个最简单的几何图形。 取一个长度为单位长的线段，把它加倍，则加倍后的长度2，也就是21。 一个边长为单位长的正方形，将每边长加倍，则加倍后的面积为4，也就是22。 一个棱长为单位长的立方体，将每条棱长加倍，则加倍后的体积为8，也就是23。于是，边长加倍后的关系可以整理如下表： （下表是前述几种曲线的维数） 曲线 康托集 科赫曲线 希尔彬斯基垫片 希尔彬斯基地毯 希尔彬斯基海绵 维数 0.6309 1.2619 1.5850 1.8928 2.7258 由上，我们可以更清楚地知道，在4维空间中的“盒子”再加倍，它的大小应当增加24的倍数，n维空间加倍，其大小应当增加2n的倍数。也就是说，在加倍1维图形时，我们得到2个原来的图形；在加倍2维图形时，我们得到4个原来的图形。在加倍3维图形时，我们得到8个原来的图形——加倍因数总是2的方幂！ 而希尔彬斯基垫片呢？ 希尔彬斯基垫片的边长加倍以后，得出的是由3个原来的图形组成的图形。不是2的方幂。3，界于21和22之间，由此，我们猜测它的维数应当在1和2之间。它的维数d应当满足关系式：2d＝3。d＝1.584962500721156181453738943…不是整数！是一个无理数！ 如果将图形边长放大的倍数记为l，放大后图形变化的倍数记为k，那么D即为相应图形的维数，记作。这就是1919年由法国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）引入的分数维概念，记为豪斯道夫维数。 豪斯道夫说：空间维数可以连续变化，它可以是正数也可以是分数。如果是，分型将把我们带进一个怎样令人神往的天地！ 四、分形应用 分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分形热”经久不息。美国著名物理学家惠勒(Wheeler)说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。为了让人们了解更多的 “分形几何”知识，澳门特区邮政局于2005年11月16日发行了一套邮票《科学与科技——混沌与分形》，邮票图案分别为分别是“希尔伯特曲线”、“分形树”、“希尔彬斯基三角形”、“混沌游戏”、“科赫曲线”和“康托集”。小型张邮票图案为 “朱利亚集”。如图7，图8。 邮票中的“分形树”，可由德国生物学家林登迈尔（Aristid lindenmayer）创立的一种能够生成分形形态的代数系统生成。这一系统的数学原理却又可以在斐波那契兔子繁殖问题中找到踪影。在你惊叹数学领域的神奇和浩瀚的时候，我们又不得不叹服它无处不在的联系！ 参考资料： 1.当代物理学进展， 2.吴振奎，吴旻．数学中的美，上海：上海教育出版社．2002年9月第1版 3.[英]伊恩·斯图尔特著．周仲良等译．第二重奥秘——生命王国里的新数学．上海：上海科学技术出版社．2002年6月第1版 4．/sim/overseas_stamp