1极坐标知识讲解及典型例题.doc

极坐标 一、直角坐标系、平面上的伸缩变换 1、直角坐标系 （1）一维直角坐标系 （2）平面直角坐标系 （3）空间直角坐标系 注意：在平面直角坐标系与空间直角坐标系中都有右手系与左手系之分，我们习惯性地使用右手系。 2、平面上的伸缩变换 以正弦曲线为例，曲线上所有点的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的b倍，即 X=ax ，其中a，b0，该式是平面上伸缩变换的坐标表达式。 Y=by 二、极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。 练习:在极坐标系中，画出以下三个点 A（1，）B（2，）C（3，-） 思考：上述点关于极轴以及极点的对称点 说明：（1）通常限制0，当=0时，该点与极点重合，不确定，也可以允许0，此时M(ρ, θ)位于与极轴成角的射线的反向延长线上，该点与（-ρ, θ）重合； （2）极坐标系中的点与有序实数对(ρ, θ)的对应关系： 2、直角坐标与极坐标的互化：直角坐标（x，y）极坐标（，） = tan= 极坐标（，）直角坐标（x，y） x= y= 注意：若已知直角坐标，在确定极坐标时，极角的确定光知道极角的正切值是确定不出来的，还必须知道该点对应在直角坐标的象限。 练习1：将下列直角坐标化为极坐标 A（1，-1） B（1，π） 练习2：将下列极坐标化为直角坐标 A（2，） B（1，2） 练习3：分别求下列条件中AB中点的极坐标 （1）（4，）（6，-）；（2）（4，）（6，） 三、曲线的极坐标方程 1、定义：在极坐标系下，方程，如果曲线C是由极坐标满足方程的所有点组成的，则称方程为曲线C的极坐标方程。 练习：说明下列极坐标方程分别表示什么曲线？ （1） （2） 2、圆的极坐标方程 （1）圆心在极轴上，且过极点的圆 注意：也可以先写出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程。 练习：写出满足下列条件的圆的极坐标方程 （1） 圆心为（3,0），半径为1； （2）圆心为（0，0），半径为1； （3）圆心为（-2,0），半径为1； （4）圆心为（0,2），半径为1； （5）圆心为（0，-2），半径为1. 3、直线的极坐标方程 ⑴ ⑵ ⑶ （4） （5） 4、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线） 设 =P ， 其中，当0e1为椭圆，e=1为抛物线，当e1为双曲线 极坐标练习题 一．选择题 1．已知，下列所给出的不能表示点M的坐标的是（ ） A． B． C． D． 2．点，则它的极坐标是（ ） A． B． C． D． 3．极坐标方程表示的曲线是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆 4．圆的圆心坐标是（ ） A． B． C． D． 5．在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程为（ ） A． B． C． D． 6、 已知点则为（ ） A、正三角形　 B、直角三角形　 C、锐角等腰三角形　 D、直角等腰三角形 　　 7、表示的图形是（ ） A．一条射线 B．一条直线 C．一条线段 D．圆 8、直线与的位置关系是（ ） 　 A、平行　　 B、垂直　 C、相交不垂直　　 D、与有关，不确定 9.两圆,的公共部分面积是（ ） A. B. C. D. 10.极坐标方程表示的曲线为（ ） A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 二．填空题（每题5分共25分） 11、曲线的直角坐标方程为_ 12．极坐标方程化为直角坐标方程是