关于方程fx=0的根的研究论文_毕业论文.doc

目 录 1 前言 1 2 方程根的存在性定理及其应用 2 2.1 方程根的存在性定理1及其应用 2 2.2 方程根的存在性定理2及其应用 3 2.3 方程根的存在性定理3及其应用 5 3 方程根的唯一性定理及其应用 6 3.1 方程根的唯一性定理 6 3.2 应用举例 6 4 方程根的个数讨论 8 4.1 方程根的个数 8 4.2 应用举例 11 5 复合方程根的判别 13 6 结论 19 参考文献 20 致谢 21 关于方程的根的研究 数学系本1103班 张东 指导老师: 殷 摘 要：求方程的根在中学所学代数中占有重要地位，所以从四个方面研究的根，分别为：利用高等数学中的介值定理、罗尔定理和费马原理证明根的存在性；闭区间上函数的连续性定理，单调性证明根的唯一性；利用导数来研究方程根的个数；复合方程的根应该遵循的原则。 关键词: 方程；根；介值定理；罗尔定理；费马原理 Research on equayion root Department of Mathematics, the 1003 class Zhang Dong Instructor: Yin Abstract:Resulting equayion root occupies an important position in the high school learning algebra,so from four aspects to study root equayion.Such as,using the intermediate value theorem,roole theorem of higher mathematics and fermat’s theorem proving the existence of the root;The continuity of function on closed interval theorem,monotonicity to prove the uniqueness of the root;The number of derivative to study equayion root of;Should follow the principle of the roots of complex equations. Keywords: equayion;the root;intermediate value theorem;Rolle’s theorem;Fermat’s theorem;The function extreme value;derivative1 前言 求方程的根是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。 有学者在这方面已经作了一定的研究, 如余剑鸣在《对方程根的题型分析》中给出有关方程根的三类题型:方程根的存在性证明,方程根的唯一性证明及方程根的个数讨论,姚兵在《关于方程的根的一些讨论》一文中也是综合了上述观点；江志杰在《例说复合方程根的判别原则》中通过例子谈了复合方程根的判别原则。但总的来说,讨论得还不够系统也不够透彻，本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对方程根的解法进行阐述。 本文分为四章，分别为方程根的存在性定理、证明及其应用，唯一性定理、证明及其应用，方程根的个数讨论及复合方程根的判别原则。其中我们利用微积分学的知识讨论方程的根或函数的零点。首先根据连续函数的零点定理、罗尔定理等证明根的存在性；再利用函数的单调性、极值、最值等确定方程的根的个数；而罗尔定理常被用于反证法证明根的唯一性。对于复合方程根的判别，我们利用其五个原则来解答。 掌握方程的根的存在性、唯一性、个数及复合方程根的判别, 能够熟练地求解方程的根、判断方程根的个数,更好地运用数形结合思想、函数与方 程思想与方法等解决方程根的问题。 2 方程根的存在性定理及其应用 2.1 方程根的存在性定理1及其应用 定理1[1](零点定理) 如果在闭区间上连续,且，则至少存在一点，使得 ， 即方程在内至少有一个根。 这个定理的几何解释如图2.1.1所示：若点A（, ）与B（）分别在轴的两端，则连接A、B的连接曲线与轴至少有一个交点。 图2.1.1 证明：利用构造法的思想,将的零点范围逐步缩小。先将二等分为，如果,则定理获证。如果，则和中必然有一个与异号,记这个小区间为,它满足。又将二等分，考虑中点的函数值,要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零,那么必然可以选出一个小区间,使得在这个区间的端点值异号,记这个小区间为，它满足，且。采用这样的方法一直进行下去,或者到有限步时,某个区间的中点的函数值为零