三角形中余弦函数的和的取值区间.doc

证明：三角形ABC中，1cos+cos+cos 证明⑴锐角三角形。 设ABC0，A+B ，A+B=- C，-（A+B）= C。 在[0, ]中，cos函数是凸函数，所以cos+cos2cos（） cos+cos2cos（）……① cos+cos2cos（）……② cos+cos2cos（）……③ 上面①+②+③，化简得 cos+cos+coscos（）+cos（）+cos（）……④ 由ABC0知，A+B0，所以，0； 同样：0；0；且++=(，应用凸函数定义，得： cos（）+cos（）2cos（）……⑤ cos（）+cos（）2cos（）……⑥ cos（）+cos（）2cos（）……⑦ 上面⑤+⑥+⑦，化简得 cos（）+cos（）+ cos（） cos（）+ cos（）+cos（）……⑧ 由0；0；0，得 0；0；0，且++=(，应用凸函数定义，得： cos（）+cos（）2cos（）……⑨ cos（）+cos（）2cos（）……⑩ cos（）+cos（）2cos（）……㈠ …… 依次下去，获得 cos+cos+cos cos（）+ cos（）+ cos（） （n是大于0的自然数，[]是取整函数。） 0， 0， 0， 且 + + =， 这三个角是锐角三角形的三个角。 考察这三角的两两差： - ==； 同样，另外两组差是：，，当n趋于无穷大时，差为0，即，三个角相等。所以，此时三角形三个角相等且为. cos+cos+cos=++。 的图像如下图一，直线DE的函数是过（0,1），（，0）的线性函数，记为。 （图一） 显然 cos+cos+cos ++ = =1 所以： 1cos+cos+cos 得证。 ⑵直角三角形。 设AB0，=C。 A+B =。 cos+cos+cos = cos+cos = cos+cos（-） = cos+sin =( cos+sin) =sin() A是锐角，所以，的取值范围是，），sin()的值如下图二所示：趋近或趋近时，sin()趋近于1，大于1，等于时，sin()最大值是。 （图二） 所以，此时1cos+cos+cos。 ③如果是钝角三角形，有且只有一个角的余弦必为负数，不妨设这个角为A，如图三。设0，。+。+=-，-（+）= 。 （图三）直线DE的函数是过（0,1），（，0）的线性函数，记为。 ++ = =1 1是与关于E点的中心对称，1是锐角.如图三： cos；cos；cos； cos+cos+cos =+a++b++c =1+ a+b+c 因为1是与关于（，0）中心对称，所以1+=2*=，-a=a1。 1=-=-（-）=。 cos+cos+cos =1-a1+b+c. 设=-，它是凸函数。下面考察-a1+b+c，即-++的值。 如果或 那么-++大于0， 如果且 如图四 （图四） 连OA1’，构成相似三角形OA1A1’，OBB’ ，OCC’。 因为相似，且1=，易知，CC’+BB’=A1A1’； 又因为是凸函数，CC’； BB’；所以-++大于0，所以 cos+cos+cos=1-a1+b+c1. 因为是钝角三角形，有且只有一个角的余弦必为负数，不妨设这个角为A，如图三。设0，。+。+=-，-（+）= 。 cos+cos+cos = cos+cos+cos =cos+cos- cos 因为cos+cos=2 cos*cos。 0-，0cos1， 所以cos+cos2 cos （cos+cos） cos 所以cos+cos+cos = cos+cos-cos cos+cos-（cos+cos） = cos-cos+ cos-cos = cos-cos+ cos-cos+1 =1-（cos-）+-（cos-）+ =-（cos-）-（cos-） （cos-）和（cos-）不小于0，所以 cos+cos+cos，且 当（cos-）和（cos-）都等于0时，即B=C=时，cos+cos+cos=。 终于证完了。 吴锦军 2015年1月22日星期四