热弹性与有限元数值仿真(传热学2)详解.ppt

下面先对稳态导热问题中位于计算区域内部的节点(简称内节点)介绍其离散方程的建立方法，而位于边界上的节点及非稳态导热中的非稳态项的离散将在以后讨论。 为讨论方便，把如图中的节点(m，n)及其邻点取出并放大，如图所示。 位于平直边界上的节点 这时边界节点(m，n)代表半个元体。如图4-4中有阴影线的区域所示。设边界上有向该元体传递的热流密度qw，于是该元体的能量守恒定律可表为 Δx=Δy时有 (2)外部角点 Δx=Δy时有 (3)内部角点 图4-5中的F点为内部角点，代表了四分之三个元体。在同样的假设条件下有 Δx=Δy时有 现在来讨论关于边界热流密度的三种情况。 (1)绝热边界 令式(4-4)~(4-6)中的qw＝0即可。 (2) qw值不为零 以给定的qw值代入上述方程，但要注意上述三式中以传入计算区域的热量为正。 (3)对流边界 此时qw＝h(tf — tm,n)，将此表达式代入式(4-4)~(4-6)，并将此项中的tm,n与等号前的tm,n合并。对于Δx=Δy的情形有： 平直边界 外部角点 内部角点 出现在式(4-7)~(4-9)中的无量纲数hΔx/λ是以网格步长Δx为特征长度的Bi数，它是在对流边界条件的离散过程中引入的。 当计算区域中出现曲线边界或倾斜的边界时，常常用阶梯形的折线来模拟真实边界，然后再用上述方法建立起边界节点的离散方程。例如，如要用数值方法确定如图4-6a所示二维区域的形状因子，显然，根据对称性我们只要考虑四分之一的计算区域即可。图4-6a中的内圆边界可以来用图4-6b所示的阶梯形的折线边界来近似。只要网格取得足够密，这种近似处理方法仍能获得相当准确的结果。处理不规则边界的更好的方法要用到坐标变换，这里不做介绍。 下面讨论代数方程的求解方法。 前已指出，代数方程组的求解方法分为直接解法及迭代法两大类。直接解法是指通过有限次运算获得代数方程精确解的方法，像矩阵求逆、高斯消元法等均属于此种方法。这一方法的缺点是计算所需的计算机内存较大，当代数方程的数目较多时使用不便。另一类方法称迭代法。在迭代法中先对要计算的场作出假设(设定初场)，在迭代计算过程中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算后的结果相差小于允许值为止，称为迭代计算已经收敛。本书中只介绍迭代法。 迭代法中应用较广的是高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法，现以简单的三元方程组为例说明其实施步骤。 设有一个三元方程组，记为 其中ai,j(i＝1，3，j＝1，3)及bi(i＝1，3)是已知的系数(设均不为零)及常数。采用高斯—赛德尔迭代法求解的步骤如下： (1)将式(a)改写成关于t1、t2、t3的显式形式(迭代方程)，如 (2)假设一组解(即迭代初场)，记为t1(0)、t2(0)及t3(0)，由式(b)逐——计算出改进值t1(1)、t2(1)及t3(1)。每次计算均用t的必威体育精装版值代人。例如当由式(b)中的第三式计算t3(1)时代入的是t1(1)及t3(1)之值。 (3)以计算所得之值作为初场，重复上述计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已达到迭代收敛，迭代计算终止。 判断迭代是否收敛的淮则一般有以下三种： 其中上角标k及(k十1)表示迭代次数，tmax(k)为第k次迭代计算所得的计算区域中的最大值。当计算区域中有接近于零的t时，采用式(4-10c)比较合适。允许的相对偏差ε之值常在10-3—10-6之间，视具体情况而定。 4—3 非稳态导热问题的数值解法 非稳态导热与稳态导热的主要差别在于控制方程中多了一个非稳态项，而其中扩散项的离散方法与稳态导热是一样的。因此，本节讨论重点将放在非稳态项的离散以及扩散项离散时所取时间层的不同对计算带来的影响上。 1.泰勒展开法 首先以一维非稳态导热为例讨论时间—空间区域的离散化。如图4-8所示，x为空间坐标，我们将计算区