理论力学下册第二章碰撞讲述.ppt

第二章碰 撞 § 2－1 碰撞的分类·碰撞问题的简化 § 2－2 用于碰撞过程的基本定理 § 2－3 质点对固定面的碰撞·恢复因数 § 2－4 碰撞问题举例 例 2－2 例 2－3 § 2－5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用·撞击中心 例 2－4 * 1.碰撞的分类 对心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞 碰撞时两物体间的相互作用力称为碰撞力 光滑碰撞与非光滑碰撞 完全弹性碰撞 弹性碰撞 2.对碰撞问题的两个简化 碰撞现象的特点是 碰撞时间极短（一般为 ） 速度变化为有限值 加速度变化相当巨大 碰撞力极大 塑性碰撞 由于碰撞时碰撞力极大而碰撞时间极短 在研究一般的碰撞问题时 通常做如下两点简化 （1）在碰撞过程中 由于碰撞力非常大 重力 弹性力 等等普通力远远不能与之相比 因此这些普通力的冲量忽略不计 （2）由于碰撞过程非常短促 碰撞过程中 速度变化为有限值 物体在碰撞开始和碰撞结束时的位置变化很小 因此在碰撞过程中 物体的位移忽略不计 1.用于碰撞过程的动量定理——冲量定理 设质点的质量为m 碰撞过程开始瞬时的速度为 结束时的速度为 则质点的动量定理为 （2－1） 式中 为碰撞冲量 普通力的冲量忽略不计 质点系 设质点系有n个质点 对于每个质点都可列出如上的方程 将n个方程相加 得 因为 于是得 （2－2） 式（2－2）是用于碰撞过程的质点系动量定理 因此又称为冲量定理： 质点系在碰撞开始和结束时动量的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢 （2－2）可写成 （2－3） 式中 和 分别是碰撞开始和结束时质心的速度 2.用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理 质点系动量矩定理 上式可写成 积分 得 或 或 （2－4） 称 为冲量矩 其中不计普通力的冲量矩 （2－4）是用于碰撞过程的动量矩定理 又称为冲量矩定理： 质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩 3.刚体平面运动的碰撞方程 （用于刚体平面运动碰撞过程中的基本定理） 用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理 （2－5） 式中 为碰撞前与后质点系相对质心C的动量矩 右端项为碰撞冲量对质心之矩的几何和（对质心的主矩） 对于平行于其对称面的平面运动刚体 式（2－5）可写为 （2－6） 式中 分别为平面运动刚体碰撞前后的角速度 上式中不计普通力的冲量矩 式（2－6）与（2－3）结合起来 可用来分析平面运动刚体的碰撞问题 称为刚体平面运动的碰撞方程 第一阶段碰撞冲量为 第二阶段碰撞冲量为 于是得 （2－7） （2－8） 常数k恒取正值 称为恢复因数 恢复因数需要用试验测定 于是得恢复因数 几种材料的恢复因数见表 0.94 玻璃对玻璃 0.89 象牙对象牙 0.56 钢对钢 0.50 木对木 0.26 木对胶木 0.14 恢复因数 铁对铅 碰撞物体的材料 对于各种实际的材料 均有0k1 由这些材料做成的物体发生的碰撞称为弹性碰撞 物体在弹性碰撞结束时 变形不能完全恢复 动能有损失 k=1称为完全弹性碰撞 k=0称为非弹性碰撞或塑性碰撞 由式（2－7）和（2－8）有 即恢复因数又等于正碰撞的两个阶段中作用于物体的碰撞冲量大小的比值 如图所示 此为斜碰撞 此时定义恢复因数为 式中 和 分别是速度 和 在法线方向的投影 由于不计摩擦 和 在切线方向的投影相等 由图可见 于是 对于实际材料有k1 由上式可见 当碰撞物体表面光滑时 应有 在不考虑摩擦的一般情况下 碰撞前后的两个物体都在运动 此时恢复因数定义为 （2－9） 式中 和 分别为碰撞后和碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度 例 2－1 两物体的质量分别为 和 恢复因数为k 产生对心正碰撞 如图所示 求碰撞结束时各自质心的速度和碰撞过程中动能的损失 解： 有 （a） 由恢复因数定义 由式（2－9） 有 （b） 联立（a）和（b）二式 解得 （c） 在理想情况下 k=1 有 如果 则 即两物体在碰撞结束时交换了速度 当两物体做塑性碰撞时 即k=0 有 即碰撞结束时 两物体速度相同 一起运动 以 和 分别表示此两物体组成的质点系在碰撞过程开始和结束时的动能 则有 在碰撞过程中质点系损失的动能为 将式（c）代入上式 得两物体在正碰撞过程中损失的动能 由式（b）得 于是得 （d） 在理想情况下 k＝1 在塑性碰撞时 k=0 动能损失为 如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止 即 则动能损失为 注意到 上式可改写为 （e） 可