2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第51讲圆[最终版].doc

第51讲 圆 对圆的问题的研究是高中解析几何的重点内容之一，在高考和数学竞赛中也很常见，学习中应熟练掌握圆的方程的几种常见的形式： 1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为(a，b)，半径为r(r＞0)． 2．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ①当D2＋E2－4F＞0时，该方程表示圆，圆心(－ eq \f(D,2)，－ eq \f(E,2))，半径r＝ eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) ； ②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点(－ eq \f(D,2)，－ eq \f(E,2))(点圆)； ③当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何曲线(虚圆)． 3．以(x1，y1)，(x2，y2)为直径端点的圆的方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0； 4．圆的参数方程：圆心为(a，b)半径为r的圆的参数方程 eq \b\lc\{(\a\al(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ．))(θ为参数) 同时在学习的过程中还应该注意点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及一些相关的结论，注意待定系数法的应用． 与圆有关的问题还常常要考虑用平几方法来解． A类例题 例1．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么 eq \f(y,x)的最大值是( ) A． eq \f(1,2) B． eq \f( eq \r(3),3) C． eq \f( eq \r(3),2) D． eq \r(3)(2000年全国高考题) 分析 由于(x，y)在圆上，则 eq \f(y,x)的值可以理解为通过圆上的点与原点连线的斜率，从而比较顺利地解决问题． 解 如图，方程(x－2)2＋y2＝3的图形为圆心在(2，0)，半径为r＝ eq \r(3)的圆． 设 eq \f(y,x)＝k，则k为y＝kx的斜率，显然k的最大值是在直线y＝kx与圆在x轴上方相切时得到，即直线OM的斜率为k的最大值． 又|AM|＝ eq \r(3)，|OA|＝2，则∠MOA＝ eq \f(π,3)． 于是可得 eq \f(y,x)的最大值是k＝tan eq \f(π,3)＝ eq \r(3)，故选D． 说明 这里运用数形结合的思想，把 eq \f(y,x)视为圆上一点(x，y)与原点连线的斜率是破题的“高明”之招． 本题也可以直接解出：以y＝kx代入圆的方程(k2＋1)x2－4x＋1＝0，这是关于x的二次方程， eq \f(1,4)Δ＝4－(k2＋1)≥0，解得k2≤3，则k的最大值为 eq \r(3)． 例2．自点A(－3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线L所在直线的方程．(1989年全国高考题) 分析 考虑作出已知圆关于x轴的对称图形——圆C，则两条入射光线均与圆C相切，以此为突破口解决问题． 解 已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1， 它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1， ① 设光线L所在直线的方程是y－3＝k(x＋3)(其中斜率k待定） 由题设知对称圆的圆心C(2，－2)到这条直线的距离等于1， 即d＝ eq \f(|5k＋5|, eq \r(1＋k2))＝1． 整理得，12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－ eq \f(3,4)，或k＝－ eq \f(4,3)． 故所求的直线方程是y－3＝－ eq \f(3,4)(x＋3)，或y－3＝－ eq \f(4,3)(x＋3)，即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0． 例3．设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1．在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程．(1997年全国高考题) 分析 要求圆心到直线的距离最小的圆的方程，必须先求出距离的最小值或求出何时距离最小，可以把本题先化成一个最值问题，解决之后再来求圆的方程． 解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为|b|，|a|． 由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为 eq \r(2)r，故r2＝2b2． 又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2＝a2＋1． 从而得2b2－a2＝1． 又点P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为d＝ eq \f(|a－2b|, eq \r(5))， 所以5d2＝|a－2b|2＝a2＋4b2－4ab≥a2＋4b2－2(a2＋b2)＝2b2－a2＝1．当且仅当a＝b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值． 由此有 eq \b\lc\{(\a\al(a＝b，,2b2－a2＝1．)) 解此方程