2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第60讲概率2[修改版].doc

第20讲 概率(二) 本节主要内容有：几何概型，期望．各种概率问题选讲 概率的基本知识． 1.随机变量：随机变量x是样本空间I上的函数，即对样本空间I中的每一个样本点e，有一个确定的实数X(e)与e对应，X=X(e)称为随机变量． 2.数学期望：设X是随机变量，则E(x)= X(e)P(e) 称为X的数学期望．其中e跑遍样本空间I的所有样本点，P(e)是e的概率． 如果a是常数，那么E(aX)=aE(X)． 如果X、Y是两个随机变量，那么E(X+Y)=E(X)+E(y)． A类例题 例1 (2004年福建理科卷)甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． （1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 分析 利用随机事件的概率公式确定概率分布列，利用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式解决此类问题 ． 解 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： ξ 0 1 2 3 P 甲答对试题数ξ的数学期望Eξ=0×＋1×＋2×＋3×=． （2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则 P(A)===，P(B)===． 因为事件A、B相互独立， ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为：P()=P()P()=1－)(1－)=． ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为：P=1－P()=1－=． 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为． 例2.(2004年全国高考湖北卷)某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0．3，一旦发生，将造成400万元的损失． 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用． 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0．9和0．85． 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少． （总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值．） 分析 优选决策型概率问题是指通过概率统计来判断实施方案的优劣的问题．这类问题解决的关键是要分清各方案实施的区别，处理好概率与统计的综合．此部分内容实际意义较浓，所以解决这类问题必须密切联系生活实际，才能从中抽象出一些切合实际的数学模型． 解 ①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0．3=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0．9=0．1， 损失期望值为400×0．1=40（万元）， 所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0．85=0．15， 损失期望值为400×0．15=60（万元）， 所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元）， 发生突发事件的概率为（1－0．9）（1－0．85）=0．015， 损失期望值为400×0．015=6（万元）， 所以总费用为75+6=81（万元）． 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少． 情景再现 1.(2004年全国理Ⅲ) 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0．8，且各题回答正确与否相互之间没有影响． （1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即≥0）的概率． 2．(2004年全国高考湖北文史卷) 为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所需费用如下表： 预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 费用（万元） 90 60 30 10 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大. B类例题 例3（2003年全国高考辽宁、天津理科卷）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3 ．按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 eq \o(\s\up 5( 2 ),\s\do 3(3)) eq \o(\s\up 5( 1 ),\s\do 3(3)) A2对B2 eq \o(\s\up 5( 2 ),\s\do 3(5))