2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第66讲_覆盖[优质课].doc

第66讲 覆盖 本节主要内容是图形覆盖与嵌入． 一、图形覆盖的定义： 平面闭图形指的是由平面上一条简单闭曲线及其围成的平面部分组成的图形．所谓简单闭曲线，就是自身不相交的封闭曲线．它作为图形的边界，而它围成的平面部分(不包括闭曲线本身)称为平面图形的内部． 定义1 设M和N是两个平面图形，若M?N或M经过运动变成M，而M?N，则称图形M可以覆盖图形N，或N能被M覆盖，也说N嵌入M． 设M1，M2，…，Mn是一组平面图形，若M1?M2?…?Mn?N，或M1，M2，…，Mn 各自经过运动(施于每一个图形的运动不一定相同)分别变为M1，M2，…，Mn，而M1?M2?…?Mn?N，则称图形M1，M2，…，Mn可以覆盖图形N，或N能被M1，M2，…，Mn覆盖． 二、图形覆盖的性质：覆盖的下述性质是十分明显的： ⑴ 图形G覆盖自身； ⑵ 图形G覆盖图形E，图形E覆盖图形F，则图形G覆盖图形F． ⑶ 如果一条线段的两个端点都在一个凸图形内部，则此线段被此凸图形覆盖． 推论：一个凸图形如果盖住了一个凸多边形的所有顶点，则此凸多边形被此凸图形覆盖． 定义2设F是一个平面闭图形，我们称F的任意两点之间的距离的最大值为M的直径，记为d(F)，即d(F)＝max{|AB|，A，B∈F}． 三、关于覆盖的三条原则：覆盖的以下三个原则是常用的： 原则1? 若图形F的面积大于图形G的面积，则图形G不能覆盖图形F； 原则2? 直径为d的图形Ｆ不能被直径小于d的图形G所覆盖． 原则3 (重叠原理) n个平面图形的面积分别为S1，S2，…，Sn，若它们被一个面积为A的平面图形完全覆盖，又AS1+S2+…+Sn，则此n个图形中至少有两个图形发生重叠． 这三个原则十分显然，不再证明． 四、用圆盘覆盖图形： 圆盘：圆及圆内部分构成圆盘． 定理1 如果能在图形Ｆ所在平面上找到一点O，使得图形Ｆ中的每一点与O的距离都不大于定长r，则Ｆ可被一半径为r的圆盘所覆盖； 定理2? 对于二定点A、B及定角α，若图形F中的每点都在AB同侧，且对A、B视角不小于α，则图形F被以AB为弦，对AB视角等于α的弓形G所覆盖； 在用圆盘去覆盖图形的有关问题的研究中，上述二定理应用十分广泛． 称覆盖图形F的圆盘中最小的一个为F的最小覆盖圆盘．最小覆盖圆盘的半径叫做图形F的覆盖半径． A类例题 例1 △ABC的最大边BC等于a，试求出覆盖△ABC的最小圆盘． 解：⑴若此三角形为钝角三角形或直角三角形，则以其最大边a为直径作圆，该圆盘可以覆盖此三角形，而任一直径小于a的圆盘，则不能盖住此三角形，故覆盖直角三角形或钝角三角形的最小圆盘是以其最大边为直径的圆盘．即覆盖△ABC的最小圆盘的半径＝ eq \f(1,2)a． ⑵ 若三角形ABC是锐角三角形，任取一个覆盖?ABC的半径为r的圆盘O，若A、B、C都不在圆上，连OA、OB、OC，设OA≥OB≥OC，则以O为圆心，OA为半径作圆，该圆盘也能覆盖?ABC，且OA＜r．即当三角形的顶点在圆内时，覆盖此三角形的圆一定不是最小圆盘． 现设A在⊙O上，B、C在圆上或圆内，且⊙O的直径为ｄ，△ABC外接圆直径为d0，延长CB、BC与圆交于B?、C?，则∠B?≤∠B，且∠ACC?为钝角，于是AC?＞AC．故d＝ eq \f(AC?,sinB?)≥ eq \f(AC,sinB)＝d0．所以锐角三角形ABC的最小覆盖圆盘是它的外接圆． 由正弦定理，其外接圆的半径r＝ eq \f(a,2sinA)≤ eq \f(a,2sin60?)＝ eq \f( eq \r(3),3)a． 这样就得到了覆盖三角形的圆盘的定理： △ABC中，若a为最大边，则△ABC的覆盖半径r满足 eq \f(1,2)a≤r≤ eq \f( eq \r(3),3)a． 例2 已知A、B、C、D为平面上两两距离不超过1的任意四个点，今欲作一圆覆盖此四点(即A、B、C、D在圆内或圆周上)，问半径最小该为多少？试证明之，(1985年上海市数学竞赛试题) 分析 我们先通过特殊情况：此四点共线，△ABC是正三角形，D在内部或边界．探索到半径的最小值．然后按A、B、C、D形成的凸包分类讨论． 解 设所求半径的最小值为r， ⑴ 若四点共线，则用一个半径为 eq \f(1, 2 )的圆盘即可覆盖此四点； ⑵ 若此四点的凸包为三角形，由于最大边长≤1．由覆盖三角形的圆盘定理知，覆盖此四点的圆盘半径r≤ eq \f(\r(3),3)； ⑶ 若此四点的凸包为四边形ABCD．若此四边形有一组对角都≥90?，例如∠A、∠C都≥90?，则以BD为直径的圆盘可以覆盖此四点，此时r≤ eq \f(1, 2 )； 若此四边形两组对角都不全≥90?，则必有相邻二角＜90?，设∠A、∠