2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案[最终版].doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题 （本卷满分120分，考试时间120 分钟） 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 在下列各小题中，均给出四个答案，其中有且只有一个正确答案，请将正确答案的字母代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均为零分． ABCNM（第2题图）1. 从长度是2cm，2cm，4cm A B C N M （第2题图） A． B． C． D．1 2．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，AN⊥BN 于N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长为（ ） A．38 B．39 C．40 D. 41 3．已知，且有，，则的值等于（ ） （第4题图）A． B． C． D． （第4题图） 4．已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边 为直径作三个半圆(如图所示)，已知两个月牙形(带斜线的阴 影图形)的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图 中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（　 ） A．6 B. 7 C．8 D． 5．设，，是△ABC的三边长，二次函数在时取最小值，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 （1） （2）（第5题图）6．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取 （1） （2） （第5题图） 出按照“先进后出”的原则，如图，堆栈（1）中的2个连续存储单元 已依次存入数据，，取出数据的顺序是，；堆栈（2）的3个 连续存储单元已依次存入数据，，，取出数据的顺序是，， ，现在要从这两个堆栈中取出5个数据（每次取出1个数据），则不 同顺序的取法的种数有（ ） A．5种 B．6种 C．10种 D．12种 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7．若，则满足该方程的所有根之和为 . 8．（人教版考生做）如图A，在 ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为 ． 8．（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则 ． 9．已知，且，则 ． 10．元旦期间，甲、乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相同，且每件商品的单价只有8元和9元两种.若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件． 11．如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成，∠A=，CD=4m，BC=m，则电线杆AB的长为 m． (第11题图)ABCD（第8题图A）BCDAE（第8题图B）D12．实数与，使得，， (第11题图) A B C D （第8题图A） B C D A E （第8题图B） D 三、解答题（本大题共3个小题，每小题20分，共60分） 13.（本题满分20分） 已知：是完全平方式． 求证： ． 14.（本题满分20分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒１个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为　 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ； （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 t 6）；并求t为何值时，S有最大值？ （备用图）(第14题图)（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． （备用图） (第14题图) 15.（本题满分20分） 对于给定的抛物线，使实数，适合于. （1）证明：抛物线通过定点； （2）证明：下列两个二次方程，与中至少有一个方程有实数