第2.1节点估计与优良性详解.ppt

第二章 参数估计 第2.1节 点估计与优良性 一、点估计的概念 二、无偏性 注 三、均方误差准则 注 四、相和估计(一致估计) 五、渐近正态估计 第2.2节 点估计量的求法 一、矩估计法 例4 (方法2) 二 、最大似然估计法 三、用次序统计量估计参数的方法 第2.3节 最小方差无偏估计和有效估计 一、最小方差无偏估计 第2.4节 区间估计 一、区间估计基本概念 2. 置信区间与置信度 二、正态总体数学期望的置信区间 例1 例2 例3 三、正态总体方差的区间估计 例4 四、两个正态总体均值差的区间估计 五、两个正态总体方差比的区间估计 六、单侧置信区间 七、非正态总体参数的区间估计 附表2-1 附表2-2 附表3-1 附表3-2 附表4-2 附表4-1 附表5-1 进一步可得: 注意: 在密度函数不对称时, 习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图). 注 此置信区间长度并非最短 (续例2) 求例2中总体标准差?的置信度为0.95的置信区间. 解 代入公式得标准差的置信区间 附表4-1 附表4-2 本章将讨论两个总体均值差和方差比的估计问题. 推导过程如下: 为比较?, ??两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取?型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为 随机 地取??型子弹20发, 得枪口速度平均值为 假设两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生产过程可认为它们的方差相等, 求两总体均值差 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知), 例5 推导过程如下: 又因为 其信息量的下界为 3、有效估计 定义2.8 定义2.9 定义2.10 例6 证 有信息量计算公式可知： 例7(p58例2.24) 证 定理2.11 证明从略。 解 例8(p59例2.25) 一、区间估计的概念 二、正态总体数学期望的置信区间 三、正态总体方差的区间估计 四、两个正态总体均值差的区间估计 五、两个正态总体方差比的区间估计 六、单侧置信区间 七、非正态总体参数的区间估计 1. 问题的提出 点估计法： 不足之处： 例如 问： 很小 较大 区间估计解决了上述问题，从而克服了点估计的不足之处. 定义2.11 关于定义的说明 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n) 按贝努利大数定理, 当抽样次数充分大时，在这些区间中包含? 真值的频率接近置信度 1?? , 即 例如 一旦有了样本，就把 估计在区间 内. 这里有两个要求: 由定义可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) (X1,…Xn) (X1,…Xn) 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间 长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 1. 要求 以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，一般是在 保证可靠度的条件下尽可能提高精度. 3. 求置信区间的一般步骤(共3步) 3° 求解不等式 4° 作等价变形 简写成 其置信区间的长度为 注 置信区间不唯一，但上述结论区间长度最小 包糖机某日开工包了12 包糖,称得重量(单位:克)分别为506, 500, 495, 488, 504, 486, 505, 513, 521, 520, 512, 485. 假设重量服从正态分布, 解 附表2-1 附表2-2 查表得 4° 作等价变形 简写成 解 有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下: 设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值 附表3-1 就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%. 这个误差的可信度为95%. 解 附表3-2 (续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布 推导过程如下: 根据第1章第三节定理1.12可知 它们与相应的矩估计量相同. 例8(p47例2.14) 设总体X服从柯西分布，其分布密度为 解 由分布可知，其似然函数为 此方程只能求解其数值解，可以以样本中位数为初始 值进行迭代。又因为此分布均值不存在，不可用矩估计. 解 例9(p48例2.15) 4. 最大似然估计的性质 定理2.4 此性质可以推广到总体分布中含有多个未知参数的情况. 例10(p48例2.16) 解 定理2.5 证 由因子分解定理可知 注 该定理说明最大似然估计充分利用了样本中包含的参数的信息，因而是一种比较好的估计，通常情况下，最大似然估计不仅是相和估计，而且是渐近正态估计. 1