电磁场与电磁波(第1章)讲述.ppt

成绩：平时（30）+考试70（闭卷） 平时= 作业+考勤+表现 该公式表明了区域V 中场A与边界S上的场A之间的关系。 矢量函数的面积分与体积分的互换。 由于 是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对 体积分后，即穿出闭合面S的通量 3、高斯公式(散度定理) 高斯公式 意义：任意矢量函数通过一闭合面的通量等于该矢量函数的散度对该闭合面所包围的体积的体积分。 例 求(1) 矢量 的散度; (2) 求 对中心在原点的一个单位立方体的积分; (3) 求 对此立方体表面的积分,验证散度定理. 解 (1) (2) 对中心在原点的一个单位立方体的积分为 故有 (3) 对此立方体表面的积分 1.4 矢量函数的环量与旋度 (Circulation and rotation of Vector function） 1.矢量的环量 通量和散度是针对具有通量源的矢量场，并用来描述场中的通量源与场点的关系的。而能够产生矢量场的源除了通量源外，还有一类源，叫旋涡源。要讨论旋涡源所形成的场，就需要讨论矢量场的旋度(rotation)，而要讨论矢量函数的旋度，必须先引入环量的概念。 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分 称为矢量A的环量 该环量表示绕线旋转趋势的大小。 水流沿平行于水管轴线方向流动 C=0，无旋涡运动 流体做涡旋运动 C?0，有产生旋涡的源 例：流速场 流速场 环量是一个代数量（标量），其大小和正负与矢量场的分布有关，而且与所取积分环绕方向有关。 过点P作一微小曲面?S,它的边界曲线记为?L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当?S?点P时,存在极限环量密度 取不同的路径，其环量密度不同。 2.矢量的旋度 (1) 环量密度 该极限值与?S 的形状无关，但与?S的方向n 有关。称为矢量场 在P 点沿n 方向的环量密度。 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 2.矢量的旋度 (2) 旋度 在直角坐标系下 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 旋度的物理意义 旋度的重要性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0 若矢量场处处 ，称之为无旋场。 在矢量场中，若 ,称之为旋度场(或涡旋场)， J 称为旋度源(或涡旋源)； 旋度是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此 在电磁场理论中，Gauss定理和 Stockes定理是两个非常重要的定理。 矢量函数的线积分与面积分的互换 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系 (3)斯托克斯(Stockes)定理 Stocke’s定理 求矢量 正方形回路的线积分,此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合.再求 对此回路所包围的表面积分,验证斯托克斯定理. 沿xy平面上的一个边长为2的 解 又 所以 故有 1.7 亥姆霍兹定理 (Helmholtz ‘s Theorem) 1.矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度却是一个矢量函数 。 散度和旋度的比较 2.散度表示场中某点的通量密度，它是场中任一点通量源强度的量度；而旋度表示场中某点的最大环量强度，它是场中任一点处旋涡源强度的量度。 通过比较说明 散度表示矢量场中各点的场与通量源的关系，而旋度表示场中各点场与旋涡源的关系。因此，场的散度和旋度一旦给定，就意味着场的通量源和旋涡源就确定了。既然场总是由源所激发的，通量源和旋涡源的确定便意味着场已确定，因而可得出下述亥姆霍兹定理给出的结论。 在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。 已知 矢量A的通量源密度 矢量A的旋涡源密度 场域边界条件 在电磁场中 电荷密度? 电流密度J 场域边界条件 （矢量A唯一地确定） 亥姆霍兹定理 矢量场可以根据散度和旋度分为：无旋场、无源场和有旋有源场。 （1）无旋场 （2）无源场 （3）有旋有源场 矢量场的分类 场 中每一点上有 场 中每一点上有 例：判断矢量场的性质 =0 ?0 =0 =0 =0 ?0 求矢量 沿圆周 的线积分,再计算 对此圆面积的积分. 解 转换到球坐标系下 给定矢量函数 ,