电磁场与电磁波课件(王)第1章矢量代数讲述.ppt

通量：矢量穿越曲面的能力， “突围”能力， 沿法向投影的累计， 体现了矢量在法线方向分量的量度－发散性； 环量：矢量环绕曲线的闭合能力，“包围”能力，沿切向投影的累计， 体现了矢量在切线方向分量的量度－涡旋性； 1.5 矢量场的环流与旋度 环流 环流面密度 环流面密度 过点M 作一微小曲面?S，它的边界曲线记为C，曲面的法线 方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0时，极限 称为矢量场在点M 处沿方向 的环流面密度。 1.5 矢量场的环流与旋度 由于面元是有方向的, 它与封闭曲线C的绕行方向成右手螺旋关系。上述极限值对于不同的面元是不同的。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。 2. 矢量场旋度 1.5 矢量场的环流与旋度 矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。即： 矢量 的旋度是一个矢量, 大小是矢量 在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是面元矢量的方向。 任一取向面元的环流面密度，是该点最大环流面密度的投影： 旋度 1.5 矢量场的环流与旋度 矢量场的旋度的计算 直角坐标系中 、 、 的表达式 推导 的示意图如图所示。 o y Dz Dy C M z x 1 2 3 4 计算 的示意图 而 于是 旋度 1.5 矢量场的环流与旋度 故得 同理可得 所以有 物理意义：旋涡源密度矢量。 性质： 旋度 旋度计算公式 1.5 矢量场的环流与旋度 旋度的表达式： 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 旋度计算公式 1.5 矢量场的环流与旋度 3. 斯托克斯定理 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。 曲面的剖分 方向相反大小相等结果抵消 1.5 矢量场的环流与旋度 4. 散度和旋度的区别 例1 .5 点电荷 在离其 处产生的电场强度为 求任意点处 电场强度的旋度 。 解： 例题 1.5 矢量场的环流与旋度 例题 1.5 矢量场的环流与旋度 因 可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零。 故 这说明点电荷产生的电场是无旋场。 解： 例题 1.5 矢量场的环流与旋度 例1 .6 求矢量场 在点 处的旋度。以及沿 方向的环流面密度。 因为 例题 1.5 矢量场的环流与旋度 而 所以有 1.6 无旋场与无散场 1. 矢量场的源 散度源：是标量，它产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。 2. 矢量场按源的分类 （1）无旋场 仅有散度源而无旋度源的矢量场， 梯度的性质: 梯度的旋度恒为零 性质： ，线积分与路径无关，是保守场。 无旋场可以用标量场的梯度表示为 例如：静电场 1.6 无旋场与无散场 （2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即 旋度的性质: 任意矢量的旋度的散度恒为零 由此可知：对于任何一个散度为零的矢量场 ，必然可以 表示为某个矢量场的旋度。即 ： 磁场的散度为零，则磁场强度可表为某一矢量的旋度. 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1. 拉普拉斯运算 ? 标量拉普拉斯运算 拉普拉斯算符 概念： 计算公式 直角坐标系 圆柱坐标系 球坐标系 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 ? 矢量拉普拉斯运算 概念： 在直角坐标系中 注意：对于非直角分量， 即 如：