第2章离散型随机变量及分布详解.ppt

六、随机变量函数的分布 1.一维随机变量函数的概率函数 设 是离散型随机变量, 概率函数为 即有分布列 若 为一已知函数, 则随机变量 的 ⒅ 取值为 则相应的概率函数为 例14 设 为离散型随机变量, 概率函数为 求随机变量 的分布. 解 1. 因函数 为单调函数, 所以 所以随机变量的概率函数为 随机变量 的取值为 又 2. 的取值为 而 由此得到相应的概率函数为: 例15 设 有概率函数 求 的概率函数. 解 的取值为 而 所以相应的分布列为 设 是二维离散型随机变量, 相应的分布律为 设 为任意一个二元函数, 则随机变量 的相应取值为 相应的概率 为: 2.二维随机变量的函数的分布 ⒆ 例16 设 是二维离散型随机变量, 分布列为 求: ⑴ ⑵ ⑶ 的概率函数. 解 ⑴ 则 的取值为 相应 的概率为 ⑵ 此时, 的取值为 同理可计算出其它概率, 由此得概率分布为: ⑶ 此时, 的取值为 同理可计算其它概率, 由此得概率分布为: 例17 设 是二维离散型随机变量, 分布列为 求: ⑴ ⑵ ⑶ 的概率分布. 解 ⑴ 则 的取值为 相应的概率为 同理可计算其它概率, 由此得分布率为 ⑵ 此时, 的取值为 相应的 分布为 ⑶ 此时, 的取值为 相应的 概率分布为 例18 设 为二维随机变量, 且服从区域 上的均 匀分布, 其中 记: 求 的联合分布. 解 由条件知: 随机变量 的联合密度函数为 其它. 则: 注意到 只有四个取值, 相应的 概率为: 所以: 所以, 联合分布为 . 例19 设 与 独立, 且都服从参数为1的指数分布, 记 ⑴试求 的密度函数 ⑵试证 服从参数为2的指数分布. 解 由已知条件, 得随机变量 及 的分布函数分别为 ⑴ 的分布函数: 所以相应的密度为 ⑵ 所以: 即: 服从参数为2的指数分布. 从而 查表得 故取 即配备8名维修人员, 使能以95%的概率, 保证当电梯发生故障时, 一定有维修工人进行维修. ⑷几何分布 设随机变量 的取值为 相应的概率函数为 称随机变量 服从参数为 的几何分布, 记为 ⑽ 例11 设 服从参数为 的几何分布, 证明 其中 为任意非负整数. 证 由几何分布的概率函数得 等比级数求和 由前式 四、二维随机变量及分布 设 是随机试验, 是相应的样本空间, 一个从 到 的二元函数即称为一个二维随机变量. 记为 称随机变量 的取值规律及相应的概率为 的 二维分布. 1.联合概率函数 设 为二维随机变量, 若它的取值为有限多个或 设 为二维随机变量, 取值为 ⑾ 称⑾式为随机变量 的分布律或联合概率函数. 可列多个, 则称