第2章-线性方程组求解的数值方法详解.ppt

* 三. 病态方程组 定义： 为非奇异矩阵。 称方程组是病态方程组(或坏条件的)，或A是病态的，当A的条件数相对的小，称方程组是良态方程组(或好条件，或A是良态的)。 当A的条件数相对的大(cond(A)1) 1. 条件数与A及A-1有关。 2. 矩阵条件数愈大，方程组病态程度愈严重，也就愈难用普通计算方法求得比较精确的解。 说明： 因此方程组是病态的或良态的，只与A有关，也即是方程组本身固有的，与解方程组的方法无关 * 阶数 4 5 6 条件数1 19.4×105 2.9×107 9.8×108 条件数2 1.5×104 4.7×105 1.4×107 条件数∞ 9.4×105 2.9×107 9.8×108 例 Hilbert 矩阵（著名的病态矩阵）。 * 例 设有方程组 解 容易计算 所以 因此, 其为病态方程组。 计算 * 四、 事后误差估计 为计算近似解。用计算剩余 来检验计算解的精度，是否 一个较好的近似解呢？ 定理 16 （事后误差估计） (1) 设A为非奇异矩阵， (2) 设 是方程组一个近似解， 则近似解 的相对误差有估计式 * 证明： 该结论说明，近似解 精度(误差界)不仅依赖于剩余 “大小”，而且依赖于A的条件数，当A是病态时，即使有很小 说明： 的剩余，也不能保证 是高精度的近似解。 即 两边取范数 * 矩阵元素间数量级差很大 ,且无一定规律; 矩阵的行列式值相对来说很小 ; 列主元消去法求解过程中出现量级很小的主元素; 数值求解过程中 , 计算解 x 的剩余向量 r = b - Ax 已经很小, 但 x 仍不符合要求. 由于计算条件数运算量较大, 实际计算中若遇到下述情况之一,方程组就有可能是病态的: 经验性判断方程组的病态 * 则x(1)的迭代改善解为: *迭代改善 设已求得方程组Ax=b的近似解x(1), 计算剩余向量 再求解余量方程组Ax=r(1), 得到解 继续下去：再求 可有效改善病态不算特别严重的方程组的解的精度。 * 作 业 1. 思考题1 2. 思考题5 3. 习题2 - 8 * 表1 且有 2. G-S迭代 取初值 x(0) = (0,0,0)T，计算结果如下。 * 且有： 由此例看出，用G-S迭代法比用Jacobi方法收敛快(即在初始向量相同，达到同样精度，所需迭代次数较少)，这个结论只当A满足一定条件时才是对的。有些方程组，用J-迭代收敛，而用G-S迭代却发散。 说明 表2 * 四、逐次超松弛迭代法(SOR) 迭代阵为 迭代格式 取分裂阵 M = (D－ωL )/ω，其中ω 0 为可选择的松弛因子。 0ω2是松弛法收敛的必要条件。当1ω2时,称为超松弛收敛；当0ω1时,称为低松弛收敛；当ω=1时,则为G-S方法。 * SOR迭代公式： 增量修正形式： * SOR迭代法： 注:(1)当取ω=1时,解Ax=b的SOR方法就是G-S迭代法。SOR方法是G-S迭代法的一种修正。 (2)每迭代一次主要是计算一次矩阵与向量的乘法。计算量小 (4)为让计算机停算，加一功能判断 (3)需一组工作单元存放 或 的分量。存贮量少。 而 未知，因此判断 高斯-塞德尔迭代法（G-S） 对比分析 在修正项上乘一个因子来加速收敛，这就是松弛法的基本思想。 * 例 用SOR方法解下述方程组 解：取初始向量 选取 第11次选代结果为： 且满足: 精确解 SOR迭代公式为 * 五、迭代法分析 矩阵 ， 则 引理1 引理2 矩阵 ， 若 则 非奇异。 (证明见教材附录) * 设迭代法产生的序列 收敛，记x*是该序列的极限点，那么 定理(一阶定常迭代法基本定理) 2. 有迭代法 对任意选取初始向量x(0)，迭代法收敛的充要条件是 1. 设有方程组 x = Bx + f，其中 证明： 1. 必要性 又由迭代关系 x(k) = Bx(k-1)+f ，有 *