第3章动态规划3_0-1背包问题详解.ppt

第3章 动态规划(Dynamic Programming) —3.4 0-1背包问题 0-1背包问题 问题描述： 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 0-1背包问题： 对每种物品i装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 0-1背包问题 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 0-1背包问题描述:给定C 0, wi 0, vi 0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤C,且∑ vi xi达最大,即一个特殊的整数规划问题。 1.最优子结构性质 最优子结构性质:设(y1,y2,…,yn)是 (3.4.1)的一个最优解，则(y2,…,yn)是下面相应子问题的一个最优解: 证明:使用反证法. 若不然,设(z2,z3,…,zn)是上述子问题的一个最优解,而(y2,y3,…,yn)不是它的最优解.显然有 ∑ vizi ∑ viyi (i=2,…,n) 且 w1y1+ ∑ wizi ? C 因此 v1y1+ ∑ vizi (i=2,…,n) ∑ viyi, (i=1,…,n) 说明(y1,z2, z3,…,zn)是(3-4-1)0-1背包问题的一个更优解,导出(y1,y2,…,yn)不是背包问题的最优解,矛盾. 2.递归关系 设所给0-1背包问题的子问题 的最优值为m(i，j)，即m(i，j)是背包容量为j，可选择物品为i，i+1，…，n时0-1背包问题的最优值。 2.递归关系 由0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算m(i，j)的递归式如下： 第i个物品不装入背包 第i个物品装入背包 第i个物品无法装入背包 课本P76有误！ 注:(3-4-3)式 此时背包容量为j，可选择物品为i。此时在对xi作出决策之后,问题处于两种状态之一: 背包剩余容量是j,没产生任何效益; 剩余容量j-wi,效益值增长了vi . 从n推至i+1, i算出最优值m(i, j) （ i=n,…,1） 。 m(1,C)为最优值。 然后用算法traceback找出最优解xi ，其中i，C为整值。 2.递归关系 3.算法描述 void knapsack( int []v, int []w, int c, int [][]m) { int n = v.length-1; int jMax = min(w[n]-1, c) //背包剩余容量// for(int j = 0; j=jMax; j++) //背包装不下w[n]的情况// m[n][j]=0; for(int j=w[n]; j=c; j++) //背包装得下w[n]的情况// m[n][j]=v[n]; for(int i=n-1; i1; i--) { jMax=min(w[i]-1, c); for(int j=0; j=jMax; j++) //背包装不下w[i]的情况// m[i][j]=m[i+1][j]; //没产生任何效益// for(int j=w[i]; j=c; j++) //背包装得下w[i]的情况// m[i][j]=max(m[i+1][j], m[i+1][j-w[i]]+v[i]); //效益值增长vi ？// } 0-1背包问题的动态规划算法Knapsack如下： 当wi（1 ? i ? n）为正整数时，用二维数组m[][]来存储m(i, j)相应的最优值。 3.算法描述 m[1][c]=m[2][c]; //令m[1][c]=m[2][c]// if(c=w[1]) //如果背包装得下w[1]// m[1][c]=max(m[1][c], m[2][c-w[1]]+v[1]); } void traceback(int