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例2 甲乙约定8:00?9:00在某地会面。设两人都随机地在这期间的任一时刻到达,先到者最多等待15分钟过时不候。求两人能见面的概率。 一、随机变量的相互独立性 例2:二维随机变量(X,Y)有二维密度函数 (1) 求 A (2) 求边缘概率密度 (3) X 与 Y 是否独立。 解:(1) (2) (3) 第三章 例题讲解 例3 解 例4 解 例5 解 于是得到 X 和 Y 的联合分布律为 即得Y 的分布律为 例6 解 因为 例7 解 (1) X 和 Y 的联合分布律为 在第二章中我们讨论了一维随机变量函数 Y=g(X) 的分布,对于二维随机变量的函数Z=g(X,Y)的分布,若 X,Y都是离散型随机变量,则 Z 的分布不难求出;若 X,Y 都是连续型随机变量,则求 Z 的分布往往比较困难,没有一般性的方法,这里讨论比较简单的特殊情况。 ? ? ? ? 为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布. 一、问题的引入 ? ? ? ? 二、离散型随机变量函数的分布 例1 ? ? ? ? 概率 解 等价于 ? ? ? ? 概率 ? ? ? ? ? ? ? ? 结论 ? ? ? ? 例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. 得 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 解 ? ? ? ? 可得 所以 ? ? ? ? 例3 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为 于是 解 ? ? ? ? ? ? ? ? 三、二维连续型随机变量函数的分布 设二维连续型随机变量 (X,Y) 的概率密度为 f(x,y),若(X,Y)的函数 Z=g(x,y) 仍是连续型随机变量,则其分布函数为 ? ? ? ? 例3 设随机变量X与Y相互独立,且都服从N(0,1),求 的概率密度。 解:由已知得,X 与 Y 的联合概率密度为 当 z 0时, ? ? ? ? 当 z ≤0时, 综合得,Z 的概率密度为 ? ? ? ? 例4 设随机变量X与Y相互独立,其概率密度分别为 求 Z=X+Y 的概率密度。 解:X与Y的联合概率密度为 ? ? ? ? 当z≤0时,FZ(z)=0; 当0z1时, 当z≥1时, ? ? ? ? 综合得Z的分布函数为 于是,Z的密度函数 ? ? ? ? Z=X+Y 的分布 卷积公式 ? ? ? ? 由此可得概率密度函数为 由于 X 与 Y 对称, 当 X, Y 独立时, ? ? ? ? 由公式 解 例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. ? ? ? ? 得 ? ? ? ? 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. ? ? ? ? 求二维随机变量函数的分布 1、一般方法(分布函数法) 若(X,Y)~ f(x,y), -?x,y +?,Z=f (X,Y) 为随机变量 X 的函数,则求 Z 的密度函数的一般方法为: (1) 确定Z的取值范围z∈R(Z); (2)求Z的分布函数, 任取z∈R(Z),FZ (z) =P{Z?z} =P {f(X,Y) ?z}= P { (X,Y) ∈G(z)} (3)对分布函数求导, (4) 最后总结, 小 结 例1 解 样本空间 S 及 X, Y 的取值情况为: 例2 解 ? ? ? ? 例4: 设r.v X在 1,2,3,4 中等可能地取值,另一 r.v Y 在 1~X 中等可能地取值。试求 X,Y 的联合分布及边缘分布律。 解: 易知 X 的边缘分布律为P{X=i}=1/4, i=1,2,3,4. 又由乘法公式,有 于是,(X,Y) 的联合分布律及边缘分布律为 ? ? ? ? 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其分布第三节 二维连续型随机变量 ? ? ? ? 连续型 一维随机变量X X的概率密度函数 定义3.5 对于二维随机变量 的分布函数 则称 是连续型的二维随 机变量 , 函数 称为二维 (X,Y )的概率密度 , 随机变量 一、二维连续型随机变量 存在非负的函数 如果 任意 有 使对于 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度. 或 ? ? ? ? 二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度的性质 : 在 f (x,y)的连续点 , ? ? ? ? 表示介于 f (x, y)和 xoy
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