矢量-补充讲述.ppt

例 1 .7 在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中, 距离rl处的电位为 求其电场强度E(r, θ, φ)。 解 §1 .6 亥姆霍兹定理 1 .6 .1 散度和旋度的比较 (1) 矢量场的散度是一个标量函数, 而矢量场的旋度是一个矢量函数。 ; (2) 散度表示场中某点的通量密度, 它是场中任一点通量源强度的量度; 旋度表示场中某点的最大环量强度, 它是场中任一点处旋涡源强度的量度。 (3) 从散度公式(1 -22)知, 它取决于场分量Ax对x的偏导数和Ay对y的偏导数及Az对z的偏导数, 所以, 散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定; 而由旋度公式(1 -30)看出, 它取决于Ax分量对y , z的偏导数及Ay , Az对与之垂直方向的坐标变量的偏导数, 所以, 旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。 1 .6 .2 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即 简化的证明如下: ; 假设在无限空间中有二矢量函数F和G, 它们具有 相同的散度和旋度。令 对两边取散度, 得 因▽·F= ▽ ·G, 故 因▽ ×F= ▽ ×G, 故 由矢量恒等式▽ × ▽ φ=0知, 可令 同时, 一个既有散度又有旋度的一般矢量场可表示为一个无旋场Fd(有散度divergence)和一个无散场Fc(有旋度curl)之和: 对无旋场Fd来说, ▽×Fd=0, 但这个场的散度不会处处为零。 因为, 任何一个物理场必然有源来激发它, 若这个场的旋涡源和通量源都是零, 这个场就不会存在了。 因此无旋场必然对应于有散场, 并因▽×▽φ=0, 可令(负号是人为加的) 对于无散场Fc, ▽ ·Fc=0, 但是这个场的旋度不会处处为零, 理由同上。并因▽ ·(▽ ×A)=0, 可令 静电场的基本方程是 对于简单媒质, 电通量密度D和电场强度E的关系为D=εE, 因而式(1 -85)可写为 (1 -85) [解] 可见, 向分量为零; 同样, 向和 向分量也都为零。 故 这说明点电荷产生的电场是无旋场。 因 例1 .4 证明下述矢量斯托克斯定理： 式中S为包围体积V的封闭面。 [证] 设C为一任意常矢，则 从而有 （1-37） 根据散度定理，上式左边等于 于是得 由于上式中常矢C是任意的，故式（1-37）必成立。 §1 .4 方向导数与梯度, 格林定理 1 .4 .1 方向导数与梯度 ; 标量场φ(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为φ沿该方向的方向导数 。 它的值与所选取的方向 有关, 设 引入 则 这就是说, ▽φ的模就是φ在给定点的最大方向导数, 而其方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即φ的变化率最大的方向。 因此, 我们定义标量场▽φ(x, y, z)在点P(x, y, z)处的梯度(gradient)为 它是一个矢量, 其模和方向就是标量场φ在该点最大变化率的值和方向。 图 1 -6 一座山的等高线图 即 后一式表明, 梯度▽φ的方向与过该点的等值面相垂直, 并由梯度定义知, 它指向φ增大的方向。 由此, 等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为 梯度运算有如下规则: 1 .4 .2 格林定理 将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度ψ与另一标量函数φ的乘积, 则有 取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得 (1 -49) 式中S是包围体积V的封闭面, 是封闭面S的外法线方向单位矢量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都成立, 称为格林(G .Green)第一定理。 把式(1 -49)中的φ与ψ交换位置, 有 用此式去减式(1 -49), 得 这称为格林第二定理。 除上面的标量格林定理外, 还有矢量格林定理。设矢量函数P和Q在封闭面S所包围的体积V内有连续的二阶偏导数, 则有 矢量格林第二定理: 利用上述格林定理, 可以将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。 同时, 如果已知其中一个场的分布特性, 便可利用格林定理求解另一场的分布特性。 例