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* 第一章 矢量分析 * 矢量分析——几个最基本的概念 一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）。在直角坐标系中，用单位矢量ax、ay、az表征矢量分别沿x、y、z轴分量的方向。 空间的一点P(X, Y, Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定，如图1所示。从原点指向点P的矢量r称为位置矢量(Position Vector)，它在直角坐标系中表示为 r=axX+ayY+azZ 图1 直角坐标系中一点的投影 X、Y、Z是位置矢量r在x、y、z轴上的投影。 任一矢量A在三维正交坐标系中都可以给出其三个分量。例如，在直角坐标系中，矢量A的三个分量分别是Ax、Ay、Az，利用三个单位矢量ax、ay、 az 可以将矢量A表示成： A=axAx+ayAy+azAz 矢量A的大小为A： A=(A2x+A2y+A2z)1/2 2. 矢量的加法和减法 矢量相加的平行四边形法则 ，矢量的加法的坐标分量是两矢量对应坐标分量之和，矢量加法的结果仍是矢量。 3.矢量的乘积 矢量的乘积包括标积和矢积。 1） 标量积 任意两个矢量A与B的标量积 (Scalar Product)是一个标量， 它等于两个矢量的大小与它 们夹角的余弦之乘积，如图 2所示， 记为 A·B=AB cosθ 图2 标量积 如，直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ax·ay=ay·az= ax·az=0 ax·ax=ay·ay=az·az=1 任意两矢量的标量积，用矢量的三个分量表示为： A·B=AxBx+AyBy+AzBz 标量积服从交换律和分配律，即 ? A·B=B·A A·(B+C)=A·B+A·C 2） 矢量积 任意两个矢量A与B的矢量积（Vector Product）是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢量A与B组成的平面，如图3所示，记为： C=A×B=aCAB sinθ ? aC=aA×aB （右手螺旋） 图 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋 矢量积又称为叉积(Cross Product)，如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两个矢量必然相互平行，或者说，两个相互平行矢量的叉积一定等于零。矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即 A×B= -B×A ? A×(B+C)=A×B+A×C 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： ?ax×ay=az, ay×az=ax, az×ax=ay ax×ax=ay×ay=az×az= 0 ? 在直角坐标系中， 矢量的叉积还可以表示为 =ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx) 矢量与矢量场 1、矢量及表示 2、标量场与矢量场 矢量场 空间某一区域定义一个矢量函数，其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场 标量场 空间某一区域定义一个标量函数，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场 场的概念（场—物理量数值的无穷集合） 场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如速度场等。 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐