矢量场与标量场以及计算方法讲述.ppt

设P为矢量场中的任一点，作 一个包含P点的微小面元ΔS，其周 界为l，它的正向与面元ΔS的法向 矢量n成右手螺旋关系(如图所示)。 则矢量A沿l方向的环量为： rotnA为旋度矢量rotA在n方向的投影，利用中值定理 M为 中的某一点，令 向p点收缩，则有旋度定义的极限形式： 旋度的物理意义 旋度小结： 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 它的方向就是该点环量密度的最大值时曲面⊿S的方向 其模等于环量密度的最大值。 在矢量场中，若 ??A=J? 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。 若矢量场处处 ??A= 0 ，称之为无旋场。 由此可见， rotnA表示矢量场A在P点的环量密度，它与该点的曲面元的法线方向有关。当旋度rotA与n的方向相同时，环量密度取得最大值。 ——旋度(curl) 在直角坐标下: 4. 斯托克斯定理 ( Stockes’ Theorem ) 矢量函数的线积分与面积分的相互转化。 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。 例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。 解： 矢量场A的旋度 在点M(1，0，1)处的旋度 n方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 六、无源场和无旋场 1、无源场 矢量场A中，在场域中的每一点处恒有： 性质1：无源场中穿过场域V中任一个矢量管的所有 截面的通量都相等。（证明略） 性质2：无源场存在矢势 由恒等式： （矢量场的旋度必为无散场） 可知存在一矢量场F满足： F称为A的矢势 2、无旋场 矢量场A中，在场域中的每一点处恒有： 性质1：无旋场中A沿场域V中任意闭合路径l的 环量等于零。 性质2：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度 由恒等式： 可知存在一标量场 满足： 矢量场A称为位势场， 称为位函数 调和场 散度和旋度都等于零的矢量场。 为调和场A的位函数，则有 上式称为拉普拉斯方程，满足该方程的解且具有 两阶连续的偏导数的函数称为调和函数 如果矢量场仅为无旋场，则是两场的位函数满足 泊松方程。 如： 0.5 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理： 亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。 Hymherze Theorem 即在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。散度、旋度分别对应通量源密度和漩涡源密度 在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场A1有散度)和一个无散场A2(有旋度)之和： 其中： 分为散度和旋度源，在电磁场中分别指电荷和电流 即散度和旋度源确定后，就相当于确定了“源”的分布 已知： 矢量A的通量源密度 矢量A的旋度源密度 场域边界条件 （矢量 A 惟一地确定） 电荷密度? 电流密度 J 场域边界条件 在电磁场中 确定一个场所须条件 0.6 特殊形式的电磁场 如果在垂直某一轴线( 设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F= f（x，y），则称这个场为平行平面场。 1. 平行平面场 Special Forms of Electromagnetic Field 如无限长带均匀电荷直导线产生 的电场。 0 2. 球面对称场 如果在一族同心球面上（设球心在原点），场 F 的分布都相同 ，即 F= f（r），则称这个场为球面对称场。 如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。 0 1.2 三种常用坐标系中的矢量场 直角坐标系 圆柱坐标系 圆球坐标系 场点的坐标位置 矢量的坐标分量 位置矢量 距离矢量 直角坐标系 场点的坐标位置(x,y,z) 圆柱坐标系 柱坐标系中任一点表示为 ，点 是三个坐标曲面 ， ， 的交点。 直角坐标系坐标与圆柱坐标系坐标的关系 圆球坐标系 直角坐标系坐标与圆球坐标系坐标的关系 垂直于Z轴及 点组成的平面，沿 增大一侧的方向。 在 点，平行与Z轴的方向。 以Z为轴，半径为 的圆柱面在 点的外法线方向。 矢量场的圆柱坐标系分量 圆柱坐标轴单位