矩阵的对角化讲述.docx

第四章矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济发展水平，且有如下关系令，，则上述关系的矩阵形式为：若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水平与经济发展水平为，即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.定义 4.1.1设为阶矩阵，若存在数和维非零列向量，使得；则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量.若为的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量.若为的互异特征值，分别为的属于的特征向量，则.证若，则，即，故.由于，所以，矛盾.因此.例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量.解取维向量，则，故是的一个特征值，是属于特征值的一个特征向量.将（4.1.1）写成下面形式.根据定义，特征向量就是齐次线性方程组. （4.1.2）的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的特征值满足方程.为叙述方便，引入下面的概念.定义4.1.2.，称为矩阵的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.二、特征值与特征向量的计算求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，.对每个特征值，求解齐次线性方程组.设它的一个基础解系为，，，，则的属于的全部特征向量为其中为不全为零的任意常数.限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.例 4.1.3求矩阵解矩阵的特征多项式=由，得的特征值为，，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，所以对应于，的全部特征向量为（）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（）..对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（）..例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式为=,由，得的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，，所以对应于的全部特征向量为不全为零）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（）.例4.1.5 求矩阵的特征值与特征向量解矩阵的特征多项式为=,由，得的特征值为，.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（）.对于，解齐次线性方程组，即解方程组，得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（.三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.证由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特征值.定理4.1.2 设，，，，为方阵的个特征值，则有证（1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有 （4.1.3）令，得，即（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含的项来自的主对角线元乘积项，其含的系数为，因此.我们将阶矩阵的主对角线元之和称