矩阵考试重点讲述.ppt

作业2-9 试写出Jordan标准形均为 的两个矩阵。 解答： 这里 为任意的非零数。 第三章 内积空间，正规矩阵与Hermite矩阵 主要掌握以下内容： 1、会用欧氏空间、酉空间的定义去证明； 2、掌握内积、长度、夹角、正交的定义及性质； 3、掌握标准正交基的定义及Schmidt正交化方法； 4、掌握以下矩阵的定义、性质、结构定理： 酉矩阵、实正交矩阵、Hermite与反Hermite矩 阵、实对称与反对称矩阵正规矩阵、正定与半 正定矩阵 5、掌握以下线性变换的定义、性质及与相应矩阵 的关系： 酉变换、正交变换、Hermite变换、对称与反对 称变换、正规变换、正定二次齐次 3-17 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 与 的特征值实部为零. 证明: 设 为矩阵的任意一个特征值, 那么有 . 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得 将其代入上面的特征多项式有 这说明 也是矩阵 的特征值. 另一方面注意矩阵 为H-反阵, 从而 实部为零. 同样可以证明另一问. 习题3-19 设 是一个半正定的H-阵且 证明: 证明: 设 为 的全部特征值,由于 是半正定的, 所以所有的 .而且由于 ，一定存在某个特征值大于0，于是有 习题3-20 设 是一个半正定的H-阵且 是一个正定的H-阵, 证明: 证明: 由于 是一个正定的H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得 这样有 注意矩阵 仍然是一个半正定的H-阵, 有上面的例题可知 从而 3-21 设 是一个正定的H-阵, 且又是酉矩阵, 则 证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以必存在 酉矩阵 使得 由于 又是酉矩阵, 所以 这样必有 , 从而 3-22 证明： （1） 半正定H-矩阵之和仍然是半正定的; （2） 半正定H-矩阵与正定H-阵之和是正定的; 证明：设 都是半正定H-阵，那么二者之和 仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为 其中 由于 都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数 我们有 这说明 为一个半正定H-阵。 类似地，可以证明另外一问。 习题3-23 设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 是可逆矩阵. 证明: 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得 这表明 是可逆的. 于是 另一方面注意矩阵 仍然为正定H-阵, 而矩阵 为H-反阵, 由上面的例题结论可知 矩阵 的特征值实部为零, 那么矩阵 的特征值中不可能有零, 从而 即 所以 可逆 *北京理工大学高数教研室 第一章 线性空间和线性变换 主要掌握以下内容： 1、能给出常见线性空间的基； 会求一个向量在给定基下的坐标； 会求两组基的过渡矩阵 例 1 实数域 上的线性空间 的一组基 例 2 实数域 上的线性空间 中的一组基 例 3 实数域 上的线性空间 中的一组基 习题1-5 和子空间 2、会求两个子空间的交空间、和空间的基与维数 定理：设 则