逼近思想在实分析中的应用研究 学位论文.doc

逼近思想在实分析中的应用研究 摘要：首先介绍逼近思想产生的国内外背景，论述逼近思想及其分类。接着研究逼近思想在数学分析中的应用，在可微性方面，用多项式函数逼近初等函数；在可积性方面，用阶梯函数和连续函数来逼近R可积函数。其次探讨逼近思想在实变函数中的应用，从可测集、可测函数、L积分和L可积函数的逼近来说明逼近思想在实变函数中的具体体现。最后总结逼近思想在L积分中应用与在R积分中应用的相似之处。 关键词：逼近思想；R可积函数；可测集；可测函数；L积分；L可积函数 Abstract：Firstly this paper provides background of approximation theory and illustrate approximation theory and its classification.Then this article studies the application of approximation theory in Mathematical Analysis,In terms of differentiability,approximation of the elementary function by polynomial function; In terms of integrability,approximation of Riemann integrable functions by staircase function and continuous function.Finally this paper discusses the application of approximation theory in real variable function.To illustrate the approximation theory embodies in real variable function is from the measurable set, measurable function,Lebesgue integral and Lebesgue integrable function?s approximation. Key words: approximation theory;Riemann integrable function; measurable set; measurable function; Lebesgue integral;Lebesgue integrable function 引言 数学思想是数学知识的本质，它为分析、处理和解决数学问题提供了指导方针和解题策略。数学思想寓于数学知识之中,我们不仅要学习数学知识，更重要的是要学习数学知识背后的数学思想。逼近思想是贯穿整个微积分学的基本思想，在数学的多个分支中都有应用。例如，常微分方程里的一阶微分方程的解的存在唯一性定理的证明过程中使用的皮卡（Picard）逐步逼近法，运筹学里最优解问题中线性规划的单纯形法，解高次方程时所用的牛顿切线法等，都体现了逼近法的思想。所以研究逼近思想具有重要意义。 网上流行“实变函数学十遍”[1]，表明了实变函数很抽象，让我们学起来很费劲。而实变函数论中运用最普遍和最具特色的数学思想就是逼近思想。[2]用逼近思想来研究实变函数论，即逼近思想在可测集、可测函数、L积分和L可积函数的应用，可以让我们清晰地看到实变函数论的整体框架。由于L积分是从改进的R积分形成的，所以本文先研究逼近思想在R可积函数中的应用和初等函数的逼近。 1 逼近思想的概述 1.1 逼近思想产生的国内外背景 古希腊的阿基米德从圆内接和外切正六边形开始, 然后正十二边形, 正二十四边形,……对圆周长进行逼近，其中就蕴含了逼近思想；牛顿的“流数术”也运用了逼近思想；中外许多数学家证明哥德巴赫猜想的过程也运用了逼近思想等等。下面我们主要介绍刘徽的“割圆术”和“Zeno’s paradoxes”，来形象地说明什么是逼近思想。 三国时期魏国人刘徽认为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，我们结合图形来说明刘徽的思想。 从图形上可以看到刘徽是在单位圆内，作内接正多边形，可以看到随着正多边形的边数的增加，正多边形越来越接近圆，于是他就用正多边形的面积近似代替单位圆的面积。正多边形的边数越多，正多边形的面积就越接近于圆的面积，而圆的面积，由此看出, 要计算的值，只需求出圆的面积，而圆的面积可以用正多边形的面积来近似代替。当刘徽算到正192边形时，即得 。[3] 后来他一直算到圆内接正3072边形, 进一步得到 , 可以将精确到五位小数。 Achiles是史诗《Iliad》中的