矩阵在数学中的应用设计 毕业设计 .doc

本科毕业论文（设计） 题 目 矩阵在数学中的应用 ____________________________________ 目 录 摘要 I Abstract. II 1 前言 1 2 有关概念及重要结论 1 2.1矩阵的概念 1 2.2矩阵的秩 2 2.3矩阵的逆 3 2.4 用矩阵表示二次型 3 3 矩阵的应用 6 3.1矩阵的高次幂 6 3.1.1 矩阵的幂 6 3.1.2矩阵高次幂的求法 7 3.2 解线性方程组 13 3.2.1线性方程组的有解判定定理 13 3.2.2 线性方程组一般形式的运用 14 3.3 解矩阵方程 16 3.4 矩阵对角化方法 19 3.4.1 讨论对于有个特征单根的阶方阵 19 3.4.2 讨论对于有特征重根的阶方阵 21 结论 23 致谢 24 参考文献 24 矩阵及应用 摘要: 矩阵理论既是学习经典数学的基础,又是一门很有实用价值的数学理论.随着科学技术的发展,这一理论已成为现代各科技领域处理大量数据的有效工具.本文就是利用矩阵的基本理论,把矩阵作为计算工具,对实际问题如方程组的解、矩阵的幂、二次型进行了较为系统的研究并简化了一些计算. 关键词: 矩阵;矩阵的幂;线性方程组 Matrix and Its Application Abstract: Matrix theory is not only the foundation of learning classical mathematics,but also is a very useful mathematical theory.With the development of science and technology,this theory has become the effective tool for modern technology in the field of large amounts of data.This article is on the undamental theory of matrix,the matrix as a calculation tool,the practical problems such as the solution of the equations,the power of matrix,the two type are systematically studied and some simplified calculation. Keywords:Matrix; The power of matrix; Linear equation1 前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的主要研究对象之一,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语.而实际上,矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了. 18世纪中期,数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题,即二次型的化简.在这一问题的研究中,数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论.1748年,瑞士数学家欧拉(L．Euler,1707—1783)在将三个变数的二次型化为标准形时,隐含地给出了特征方程的概念.1773年,法国数学家拉格朗日(J．L．Lagrange,1736—1813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换.1801年德国数学家高斯(C．F．Gauss,1777一1855)在《算术研究》中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广,给出了两个线性变换的复合,而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积.另外,高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念,在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念. 在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象,也是处理高等数学很多问题的有力工具.矩阵的秩是一个基本的概念,也是矩阵最重要的数量特征之一,它在初等变换下是一个不变量．矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个