人工肾模型设计 学位论文.doc

参赛编号 （由组委会填写） 数学建模竞赛论文 论文题目： （人工肾模型） 参赛队员： 姓 名 学 号 专 业 组长 廖珊珊 01 机械制造及自动化 队员 龚琴 02 会计专业 队员 邱宏 03 汽修 人工肾模型 摘要 随着卫生设施的改善的废物量，即 然后再积分求出流过整个薄膜长度L的废物。这样就可以达到题目的要求，即人工肾在单位时间内带走废物的数量为： 我们将模型在基本合理的简化假设下，运用精确的数学工具解决了一个粗看起来不易下手的实际问题.从提出假设，引入两个基本函数和,到运用物理学上常用的守恒定律建立微分方程，从而构造出动态模型，最后到对结果的分析，整个过程可以说是用微分思想建立模型解决实际问题的一个范例. 关键词 人工肾 微分方程 半透膜原理 浓度 一 问题的重述 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通，如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾. 设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长为.建立在单位时间内人工肾带走废物数量的模型. 从本模型可以看出数学是贯穿于其它学科的一门重要工具学科. 二 问题的分析 在这个题目中，我们可以很清楚地看到几个变量之间的关系需要确定. 血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中 浓度差成正比浓度，也就是说废物量与浓度差成正比关系.而浓度差又与血液和人工肾中液体的流速成正比关系. 时间，浓度差和最终的废物量.这些都是互相影响和制约，时间和浓度差之间的关系，寻找它们之间的关系，进而建立关系式成了解决此问题的关键.在此问题中，我们运用微积分学对建立的模型进行优化.我们先采用微分法对长度为的膜进行微分，求出单位时间内血液渗透过膜的某段长度内的废物数量.然后再利用积分的方法将整个人工肾在单位时间内带走的废物数量. 三 符号的定义 表示血液中废物的浓度 表示血液流过后血液的浓度 人工肾中废物的浓度 表示在单位时间内人工肾带走废物的数量 为血液中的起始浓度 为人工肾的长度 为血流速度 为人工肾中液体的流速 为血液进入人工肾的数量与它在这两种液体间的浓度差成正比的比例系数 表示在单位时间内渗透过的废物量. 表示时刻t截面x处单位长度血液中废物的含量. 表示时刻t单位时间内通过截面x处的废物量. ,四 模型的假设 假设人工肾机体运作正常，处于标准工作状态. 假设人工肾及血管的形状，大小在整个血液透析过程中不会发生变化. 整个血液透析过程中不会发生反渗透. 假设血管和人工肾中的液体有废物渗入和渗出，均视为溶液. 假设流入血管血液中废物的浓度和人工肾中的液体的浓度始终不变. 五 模型的建立与求解 设在t=0时，在处血液流过坐标系（如下图所示），血液中废物量由血液流速量确定，后者又与废物在血液中的浓度差有关。为了研究这些关系，定义两个基本模型。表示时刻单位时间内通过界面处的废物量. 表示时刻t截面x处血液中废物浓度由假设可得 求瞬间血液中含废物单位时间内通过x处的数量，为简单起见，记，考察（x，x）一段距离血液流过x和处的流量分别是q（x）和根据守恒定律，这两个流量之差等于流到人工肾的废物量 q(x)-q()=bq(x), 其中；是血液流过这段距离所需的时间，令得到微分方程 （1） 设，在这短距离血液在单位时间内渗透的废物量根据假设写出方程的初始条件为： （2） 求解（1）（２）式解出。再利用在上的连续性确定其结果为： ２．在血液流动的任意时刻ｔ，求废物单位时间内通过ｘ＝ｌ的数量． 因为在时刻ｔ血液流至处此时渗透过的废物量为ｓ（ｔ）则： 　　　　　　（３） 根据与第一步完全相同的分析和计算可用： 　　　（４） 根据（３）（４）式可得： ３．计算单位时间内人工肾带走的废物Ｑ 这样我们就可以得到最终结果．表示了渗透过薄膜的废物量与等诸多因素之间的关系． 六 模型的检验与分析 单位时间内透过薄膜的废物量与薄膜两侧的液体浓度成正比．因式体现了废物进入薄膜的作用． 七 模型的评价 优点： 1)?该方案简单易行,原理清晰,依据可靠,论证有力,结论最优. 2）该模型将现实中的人工肾透析问题用简单的线性规划问题进行分析计算，结构简单，计算方便，有利于对相似问题进行求解和对模型进行扩充，比