小波變换的理论基础及应用—论文.docVIP

小波变换的理论基础及应用 专业班级 电气工程学院 姓 名 学 号 任课教师 日 期 目录 一、小波分析的发展历史和前景 1 二、小波变换的理论基础 2 2.1连续小波变换 2 2.2 离散小波变换 3 2.3 二进小波变换 4 2.4 多分辨分析与二尺度方程 4 2.4.1 多分辨分析 5 2.4.2 二尺度方程 6 2.5 MALLAT算法 6 2.5.1 Mallat算法的综述 6 2.5.2 Mallat分解算法 7 2.5.3 Mallat合成算法 8 2. 6 小波基和小波函数的选取 9 2.6.1 小波基选择的标准 9 2.6.2 小波基选择的五要素 9 三、小波变换的应用 10 3.1 图像、信号压缩 10 3.2 小波降噪 10 3.3 小波在信号处理中的应用 11 3.4 小波变换在故障诊断中的应用 11 3.5 小波变换在边界检测中的应用 11 3.6 小波变换的结合应用——小波网络等 12 参考文献 12 小波变换的理论基础及应用 一、小波分析的发展历史和前景 1984年,法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部特性时首次采用了小波变换。随后，理论物理学家 Grossman 对 Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。由于其在时频两域都具有表征信号局部特征的能力和多分辨率分析的特点,因此被誉为“数学显微镜”。小波变换的基本思想是将原始信号通过伸缩和平移后,分解为一系列具有不同空间分辨率、不同频率特性和方向特性的子带信号,这些子带信号具有良好的时域、频域等局部特征。这些特征可用来表示原始信号的局部特征,进而实现对信号时间、频率的局部化分析,从而克服了傅里叶分析在处理非平稳信号和复杂图像时所存在的局限性。随着小波理论的日趋成熟，人们对小波变换的实际应用越来越重视,它已广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT成像、彩色复印、流体湍流、模式识别、机器视觉、机械故障诊断与监控以及数字电视等科技领域。最近几年,一些学者将小波变换与人工智能及其它理论相结合进行研究,并且已经取得了重要的成果。 小波分析是科学家，工程师和数学家们共同创造的，反映了大科学时代学科之间的综合、渗透的优势。小波理论来自 Fourier 分析，思想也来源于 Fourier 分析，它不能完全取代 Fourier 分析，它是 Fourier 分析的新发展。小波理论与 Fourier 分析的互补优势和相辅相成的良好效果已被科研实践所证实。小波分析的发展一方面需要从理论上提高和丰富，尤其是三维和三维以上的小波理论（因为它们还很不成熟）；另一方面，需要在应用中提出更多的研究课题，使小波应用的深度和广度得到进一步拓展。由于小波理论处理问题特殊技巧和特殊效果，小波分析不仅为纯粹数学和应用数学提供了强有力的工具，而且是多媒体、信息高速公路某些核心技术的理论保证。 二、小波变换的理论基础 2.1连续小波变换 定义1 设 ，其傅里叶变换为，当满足容许条件 （完全重构条件）： （1） 时，则称为一个基小波或母小波。将母函数经伸缩和平移后得到： （2） 称为一个小波序列，其中a为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数的连续小波变换为： （3） 其重构公式为： （4） 由于基小波生成的小波在小波变换中对小波分析的信号起着观测窗的作用，所以还应该满足一般函数的约束条件： （5） 因此是一个连续函数。所以，式（1）所要满足的完全重构条件是：当 ω=0 时，=0。零频处的零值同时也说明了小波在时域的均值为零： （6） 为了使信号重构的实现在数值上使稳定的，还要求小波函数的傅里叶变换满足下面的稳定条件： （7） 上式中。 注意（2）式中加因子的作用是，在不同的a值下的能量保持相等。设 是基本小波的能量，则的能量为