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巧思妙解2011年高考数学题（北京卷）的离心率为，右焦点为（2,0）.斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为. （1）求椭圆的方程； （2）求△PAB的面积. 【参考答案】 （1）…… （2）设直线l的方程为由 得 设A、B的坐标分别为 AB中点为E， 则. 因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB. 所以PE的斜率解得m = 2. 此时方程①为解得 所以 所以|AB|=. 此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离 所以△PAB的面积S= ·巧思· ① 椭圆的方程中，y2的系数是x2系数的3倍，故由直线方程和椭圆方程合成的方程组中，消去x得关于y的一元二次方程，一定式子比较简单、运算比较方便。 ② 求出xA = 0或yA = 2 = yp后，便知△PAB又是直角三角形（?APB为直角），故其面积可用 ∣PA∣2计算，而不必先求P到AB的距离d、再用∣AB∣·d计算。 ③ 注意点P的坐标为（-3, 2），而椭圆的方程中，也有b = 2，故可猜想点A（0, 2）；再令xB = - 3,得B（-3, -1），果然有kAB = 1,于是△PAB又是直角三角形…… ·妙解· 解法1：设l：x = y–2n ①, PD⊥AB于D∣AD∣ =∣BD∣. ①代入G： y2- ny + n2- 3 = 0 2yD = yA + yB = n，且lPD：x + y + 1 = 0 ②. ①②yD = ?n - = n = 1 y2- y - 2 = 0 yA = 2 = yp PA∥x轴PB∥y轴 S△PAB = ∣PA∣2 = . 解法2：椭圆G的上端点为C（0,2） PC⊥y轴，∣PC∣= 3. 作PD⊥x轴，且使∣PD∣= 3D（-3,-1）在G上. kCD = 1AB与CD重合S△PAB = S△PCD = . 【评注】 ① 有关平面解析几何的命题，经常会出现一次方程和二次方程合成的方程组。如果x2的系数大于y2的系数（指绝对值），就要消去y得关于x的一元二次方程；否则便反之…… ② 三角形的面积公式，除了底×高，还有其他形式；即使采用“底×高”，也要适当地选取“底”和“高”——特别是遇到直角三角形时，更要注意选取的适当、得当、恰当。 ③ 观察命题条件的特点，分析命题结论的要求，揣测命题内含的本意，可能出现“意想不到”的“拍案惊奇”，收获“喜出望外”的“信手拈来”。 2.（理19）已知椭圆.过点（m,0）作圆x2 + y2 = 1的切线l交椭圆于A，B两点. （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将表示为m的函数，并求的最大值. 【参考答案】 （1）……焦点坐标为，离心率为. （2）由题意知，∣m∣≥1. 当时，切线l的方程为， 点A、B的坐标分别为此时. 当m = －1时，同理可得. 当∣m∣＞1时，设切线l的方程为 由. 设A、B两点的坐标分别为， 则. 又由l与圆 所以 = 由于当时， 所以. 因为∣AB∣==≤2. 且当时，|AB|= 2，所以|AB|的最大值为2. ·巧思· ① 将直线l的方程设为x = ty + m型（l与y轴不垂直），可避免对其位置的分类讨论， 且式子比y = k（x - m）简单。 ② 由直线方程和椭圆方程消去x，得到关于y的一元二次方程，同样可以解决问题， 并且式子比较简单、容易运算。 ③ 利用“x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根∣x1 - x2∣=”，可以避免求出两根 之和、两根之积以及繁琐的运算。 ·妙解· （2）由题可设l：x = t y + m= 1m2= t2 + 1. 由l、G（t y + m）2 + 4 y2= 4（t 2+ 4）y 2+ 2t my + m2- 4 = 0 ⊿ = 4 t 2m2 - 4（t 2+ 4）（m2- 4）= 64 -16（m2- t 2）= 48 ∣AB∣=·∣yA-yB∣=·=?? ????? =≤2∣m∣=时，∣AB∣max= 2. 【评注】 ① 直线方程的待定式，既可设为y = f（x）型，也可设为x = g（y）型——由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。 ② 含有二元一次方程和二元二次方程（不含一次项）的方程组中，未知数x和y的“地位”是“平等”的：既可消去y得关于x的一元二次方程，也可消去x得关于y的一元二次方程——由于“习惯作用”，我们通常只想到采用前者而忽略了采用后者。 ③“习惯作用”实质是“思维定势”。考虑问题不能受“思维定势”的影响，解决问题不能受“思维定势”的影响，而要“因地制宜”、“随机应变”！ 3.（文20）若数列An：a1，a2,…，an（n≥2）满足∣ak+1 - ak∣= 1（k = 1,2,…, n -1），则称数列An为E数列，记S（An）= a1