巧思妙解高考數学题目.docVIP

巧思妙解2011年高考数学题（上海卷）f（x）= a·2x + b·3x,其中常数a,b满足ab≠ 0. （1）若ab＞0，判断函数f（x）的单调性； （2）若ab＜0，求f（x + 1）＞f（x）时x的取值范围. ? 【参考答案】 （1）当a＞0，b＞0时，任意x1,x2∈R, x1＜x2,则 f（x1） - f（x2）= a（2x1 - 2x2）+? b（3x1 - 3x2）. ∵ 2x1 ＜ 2x2，a＞0 a（2x1 - 2x2）＜0， 3x1 ＜ 3x2，b＞0 b（3x1 - 3x2）＜0， ∴ f（x1） - f（x2）＜ 0，函数f（x）在R上是增函数. 当a＜0,b＜0时,同理,函数f（x）在R上是减函数. （2）略 ? ·巧思· ? ① 利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”，情况1的结论便显而易见。 ? ② 利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”，情况2的结论便显而易见。 ? ·妙解· ? 若a＞0，b＞0，则a·2x 和b·3x在R上递增 f（x）在R上递增； 若a＜0，b＜0，则a·2x 和b·3x在R上递减 f（x）在R上递减. ? 【评注】 ? ① 利用定义判断或证明固然很好，如能利用某些性质解决问题，则更显得轻松、方便。 ? ② 上述单调函数的性质经常用到，教师应向学生补充讲解，使之牢固掌握、灵活运用。 ? ③“奇函数的和还是奇函数，偶函数的和还是偶函数”，“奇函数与偶函数的积是奇函数”，“奇数个奇函数的积是奇函数，偶数个奇函数的积是偶函数，”这些性质也应当能够掌握。 ? 2.（文22）已知椭圆C：（常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为（2,0）. （1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标； （2）若m = 3,求∣PA∣的最大值和最小值； （3）若∣PA∣的最小值为∣MA∣，求实数m的取值范围. ? 【参考答案】 ? （1）略 （2）m = 3,椭圆方程为.设P（x，y），则 ∣PA∣2 = =（-3 ≤ x ≤3）. 当x = 时, ∣PA∣min? = ；当x = - 3时, ∣PA∣max ?= 5. （3）设动点P（x，y），则∣PA∣2 = =+ 5（- m ≤ x ≤ m）. ∵当x = m时，∣PA∣取最小值，且＞0， ∴≥m，且m＞1，解得1＜m≤1 +. ? ·巧思· ? ① 利用椭圆的参数方程设点P的坐标，则将“设P（x，y）”与“代入 ”两步合为一步，而利用余弦函数的有界性也可求出∣PA∣的最值。 ? ② 将∣PA∣2含有m的表达式（关于x的二次函数）先化为“顶点式”，后再分别代入m的值进行运算，便避免了重复过程，而节省文字、减少篇幅。 ? ·妙解· ? 设P（mcosθ, sinθ）∣PA∣2 =（mcosθ -2）2 + sin2 θ =（m2 -1）cos2 θ - 4mcosθ + 5 =（m2 -1） （2）m = 3cosθ =时,∣PA∣min? = ；cosθ = -1时,∣PA∣max ?= 5. （3）θ = 0时, ∣PA∣最小≥1（m＞1）1＜m≤1 +. ? 【评注】 ? ① 椭圆（a＞b＞0）的参数方程为x = acos θ，y = bbin θ；双曲线= 1（a＞0, b＞0）的参数方程为x = acsc θ，y = btan θ；抛物线y2 = 2px的参数方程为x = 2 pt2,y = 2pt ；这些将普通方程与参数方程“互换”的手法，教师应当指导学生掌握。 ? ② 正如将多项式分解因式并非只是解答“因式分解”的习题时才使用一样，将普通方程化为参数方程也并非只是解答“方程转化”的习题时才使用。由此及彼，其它亦然。 ? 3.（理22）已知数列｛an｝和｛bn｝的通项公式分别为an = 3n + 6，bn = 2n + 7（n∈N﹡）.将集合｛x│x = an , n∈N﹡｝｛x│x = bn , n∈N﹡｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1, c2 , c3 ,…, cn ,…. （1）求c1 , c2 , c3 , c4 ； （2）求证：在数列｛cn｝中，但不在数列｛bn｝中的项恰为a2 , c4 ,…, a2n,… ； （3）求数列｛cn｝的通项公式. ? 【参考答案】 （1）略 （2）① 任意n∈N﹡，设a2n -1 = 3（2n -1）+ 6 = 6n + 3 = bk = 2k + 7, 则k = 3n–2,即a2n -1 = b3n -2； ② 假设a2n = 6n + 6 = bk = 2k + 7k = 3n -∈N﹡（矛盾），∴ a2n｛bn｝， ∴ 在数列｛cn｝中，但不在数列｛bn｝中的项恰为a2 , c4 ,…, a2n ,…. （3）b3k