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巧用线性规划思想解题 　　当约束条件或目标函数不是线性规划问题，但其几何意义明显时，仍可利用线性规划的思想来解决问题，从而使解题思路拓宽，提高解题能力． 函数问题转化为线性规划问题 如图1，满足的可行域是图中阴影部分（包括边界）．若函数在 点取得最小值，求的取值范围． 解：由图1易得满足的约束条件为 将目标函数改为斜截式，表示直线在轴上的截距，欲求的最小值，可转化为求的最大值． 当时，显然直线在点处，取得最大值； 当时，依题意，，易得． 综上所述，时，函数在点取得最小值． 方程问题转化为线性规划问题 已知，若方程与方程都有实数根， 求的最小值． 解：由题意，得即 画出其可行域为如图2所示阴影部分． 令，故要求的最小值，即求过可行域内的点，使得在轴上截距最小的点的坐标．由图知，点即为所求． 由解得． 的最小值为6． 不等式问题转化为线性规划问题 已知，且，，求的取值范围． 解：如图3，作出不等式组 所表示的平面区域，即可行域． 作直线，把直线向右下方平移过，即直线与 的交点时，； 再把直线向右下方平移过即直线与的交点时，，． 说明：本题还可运用整体代换法，先用与的一次组合表示，找出它们之间 的线性关系，然后利用不等式的性质加以解决． 多元问题转化为线性规划问题 已知的三边长满足，，求的取值范围． 解：由题意，应用 令， 上述不等式可化为 求出的范围即可． 作出可行域如图4，易得， 于是的范围为． 五．几何问题转化为线性（非线性）规划问题（3，6，8） 简单的线性规划和实际应用 一、选择题 .已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是( ) A.2B.5 C.6 D.8 解析：由题可知可行域如下:显然,B(3,3)使(x+y)取得最大值6. 答案：C .在平面直角坐标系xOy中,满足不等式组的点(x,y)的集合用阴影表示为下列图中的( )解析：若0x1,当y0时,要使|y|≥|x|,则y≥x;当y0时,要使|y|≥|x|,则y≤-x;若-1x0,当y0时,要使|y|≥|x|,则y≥-x; 当y0时,要使|y|≥|x|,则y≤x. 答案：C .若A为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( ) A.B.1 C. D.2 解析：如图所示,直线x+y=a扫过的区域为四边形AOBC. ∴S四边形AOBC=S△AOD-S△CBD= 答案：C .设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,则使函数y=ax(a0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( ) A.［1,3］B.［2,］C.［2,9］D.［,9］ 解析：平面区域M如图所示.求得A(2,10),C(3,8),B(1,9). 由图可知,欲满足条件必有a1且图象在过B、C两点的图象之间. 当图象过B时,a1=9,∴a=9. 当图象过C时,a3=8,∴a=2. 故a的取值范围为［2,9］.故选C. 答案：C 二、填空题 .若变量x,y满足则z=3x+2y的最大值是. 解析：由不等式组画出的可行域如图,结合图形,由于是zmax=3×10+2×20=70. 答案：70 .已知M={(x,y)||x|+|y|≤1},则M的面积为. 解析：如图,作出M表示的平面区域,其面积为2.答案：2 .若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是. 解析：ax+by≤1恒成立,当x=0时,by≤1恒成立,可得y≤(b≠0)恒成立,所以0≤b≤1;同理0≤a≤1.所以点P(a,b)确定的平面区域是一个正方形,面积为1. 答案：1 三、解答题 .已知求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值时x、y的值.解：z=x2+y2不是线性函数,求它的最值可利用几何意义求解.x2+y2表示区域上的点到原点的距离的平方,显然,它的最值应在区域的边界上取得. 作出满足以上不等式组的可行区域(如图),易知在这个区域中,点C到原点O的距离最远,即z的最大值是22+32=13,这时x=2,y=3.又过O点作直线AB:x+=1的垂线,垂足,在点D处z有最小值|OD|2=,此时x=,y=. 若函数的定义域是R,求3a+b的取值范围. 解：∵的定义域是R, ∴ 即 可行域为下图中阴影部分.∵3a+b=0的斜率为-3, ∴最优解为A(-2,0),此时(3a+b)min=-6. ∴3a+b的取值范围为［-6,+∞). 1