數学与应用数学专业毕业论文kdv方程的近似行波解.docVIP

KdV方程的近似行波解 数学与应用数学专业 学生：王芳 指导教师：高正晖 摘 要：本文利用傅里叶级数法,吴消元法获得了KdV方程的多组近似行波解. 关键词：KdV方程;傅里叶级数法;吴消元法;近似行波解 1 引言 随着应用科学的发展,使得描述实际现象的非线性偏微分方程越来越突现其重要性.最早用于描述浅水波现象的KdV方程 . 在经过长时间沉寂后,随着孤波理论的发展,方程本身和解的意义被人们重新认识,吸引了科学家的研究兴趣.人们发现各种不同形式的KdV方程可以描述很多领域中的不同现象.如:弱非线性,弱色散的平面波系统运动,等离子体中的磁流体波.而方程的近似解能使物理现象得到进一步的解释.因此,对数学家、物理学家、工程学家及应用科学工作者来说,寻找对应实用背景方程的近似解一直是大家关注的问题.由于非线性方程问题的复杂性和特殊性,非线性方程没有统一的求解办法,因而出现求解非线性方程的各种方法,如直接积分法,混合指数法,齐次平衡法,双曲函数展开法及Baclund变换法等.所有这些方法都有一定的局限性.本文采傅里叶级数法和吴文俊消元法,获得了非线性方程 KdV 的多组近似行波解. 2KdV方程的求解 方程可表示为： . （1） 现在用傅里叶级数法来求解上述方程，为了求解（1）式.令： （2） 将（2）式代入方程（1） 可得常微分方程： . （3） 对（3）式积分一次， 取积分常数，得： . （4） 由傅里叶级数法,设方程（4）有如下形式的行波解 . （5） 2.1当时： . （6） 其中为待定系数. 将（6）式代入（4）式 即： （7） 令(7)式中的常数项以及各次项的系数为零，得到如下方程组： 解得： ① ② 其中为任意常数. 于是方程（4）有如下形式的解： ① ② 2.2当时： （8） 其中为待定系数. 将（8）式代入（4）式 即： （9） 令（9）中的常数项及各次项的系数为零，得到如下方程组： （10） 利用吴消元法解上述关于的方程组得： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 其中为任