复变第三讲.ppt

一 复变函数 1. 复变函数的定义 单值函数与多值函数 定义： D 考察函数 w = z2 = (x+iy)2 令 z = x+iy , 则 2. 复变函数与实变函数的联系 一个复变函数 两个二元实变函数 = x2-y2+i2xy , 例1 求下列复变函数对应的两个二元实变函数 或记作当 z?z0 时 , f (z)?A. 3. 复变数函的极限 x y O z0 d z O u v A e f(z) 设函数 w = f (z)定义在 z0的去心邻域 0|z-z0|r内, 如果 定义 有一确定的数A存在, d (e) (0 d ??), 对于任意给定的e 0, 相应地必有一正数 使得当 0 |z-z0|d 时有| f (z)-A |e , (z)当 z趋向于z0时的极限, 记作 则称A为f x y O z0 z 判断函数 在 时极限不存在的方法: 沿该路径趋于 时极限不存在; 1.存在一条路径, 2.存在两条路径, 沿这两条路径趋于 时极限不等. 当 z?0 时的极限不存在 例2 证明函数 证： 故极限不存在. 设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 , 则 定理一 当 z?0 时的极限不存在 例2 证明函数 法二：令 z = x + i y, 则 由此得 令 y = k x , 我们有 故极限不存在. 4. 连续性 如果 f (z) 在区域D内处处连续, 我们说 f (z) 在D内连续. 定义 ,则说 f (z)在 z0 处连续. 函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在 z0 = x0 + iy0处连续的充要条件. 定理二 例3 [解] ： 是 u(x, y)和 v(x, y)在 (x0, y0)处连续. 定理 本章要点： 1.复数的三角表示式与指数表示式(P7 例1） 2.复数的方根(P16 例2) 3.根据复数的方程判定图形(P9 例4) 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 二. 可导与解析 1.导数定义 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。 设函数w=f (z) z∈D, 且z0、 z0 +Δz∈D， 如果极限 存在，则称函数 f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数， 记作 定义 (1) Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。 (3) Δz=Δx+iΔy 注： (2)判断函数 在 不可导的方法: 例4 (2)可导与连续 若 f (z) 在点 z0 处可导 f (z) 点 z0 处连续. 反例: (3)求导法则(P37,略) 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点。 如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 4.解析函数的概念与运算 思考：可导与解析有何关系？ 定义 函数在区域可导 函数在该区域解析. 区域：连通开集 例5 思考题