复变第二讲.ppt

o x y q |z| z=x+iy 复习： 加减法的几何意义: , 一、 复数的乘幂与方根 1. 乘积与商 定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复 数乘积的辐角等于它们辐角的和.  0 [解] 0 , [解] 按照乘积的定义, 当z1?0时, 有 定理2 两个复数的商的模等于它们的模的商, 两个复数 的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 1）乘幂 例3 个相同复数 的乘积称为 的 次幂，记作 [解] 2. 乘幂与方根 2 ）方根: 若满足 记为 则称 为 的 次根， 令 注:不为0的复数 次根有 个. [解] ： 例5解方程 0 [解] ： 例6 求 二、复数形式的方程与平面图形 通过点 的直线可用参数方程表示为 例1 将通过两点 的直线用复数形式的方程来表示. (x1,y1)与(x2,y2) 重要结论: 例2 求下列方程所表示的图形: -i O x y 法一、几何法 解： (1) 几何上, 该方程表示到点2i和-2的距离相等的点的轨迹, 所以方程表示的曲线就是连接点2i和-2的线段的垂直平分线, 方程为 y = - x , 也可用代数的方法求出。 法二： 代数法 设 z = x + i y , 方程 变为 O x y -2 2i y=-x 设 z = x + i y , 那末 可得所求曲线的方程为 y = -3 . 重要结论: 三 区域 1. 区域的概念 平面上以 z0为中心, d (任意的正数)为半径的圆内部的点的集合 |z-z0|d 称为z0的邻域, 而称由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集为z0的去心邻域. 0 设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在z0的一个邻域, 该邻域内的所有点都属于G, 则称z0为G的内点. 如果G内的每个点都是它的内点则称G为开集。 平面点集 称为一个区域, 如果它满足下列两个条件:1) D是一个开集;2) D是连通的。就是说D中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来。 设D为复平面内的一个区域, 如果点P不属于D, 但在P的任意小的邻域内总包含有D中的点, 这样的点P称为D的边界点. D的所有边界点组成D的边界。 区域 D与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 . 如果一个区域可以被包含在一个以原点为中心的圆 里面, 即存在正数 M, 使区域 D的每个点z都满足 |z|M, 则称 D为有界的, 否则称为无界的. 2. 单连通域与多连通域 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线. 如果简单曲线 C的起点与终点闭合, 则曲线 C 称为简单闭曲线. 简单,闭 简单,不闭 不简单,闭 不简单,不闭 简单闭曲线的重要性质： 任意一条简单闭曲线 C 把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集, 其中除去 C 外, 一个是有界区域, 称为 C 的内部, 另一个是无界区域, 称为 C 的外部, C 为它们的公共边界. 内部 外部 C 定义 复平面上的一个区域 D, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称为单连通域, 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 三角形式与指数形式