复变第四讲.ppt

复习： 一点： 解析 可导 区域： 解析 可导 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数 定理1 （四则运算法则）设w=f (z)及w=g(z) 是区域D内的解析函数，则 f (z)±g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) ? g(z) (g (z)≠0时)均是D内的解析函数。 一 解析函数的运算法则 例1 求下列函数的奇点 解： 定理2 （复合运算法则） 二 函数解析的充要条件 称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程). 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 上述条件满足时,有 定理1 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程 例1 解 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件 是 u(x, y ) 和 v(x, y)在D内可微， 满足Cauchy-Riemann方程 定理2 上述条件满足时,有 推论： 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充分 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在一阶D内具有连续偏导数且满足Cauchy-Riemann方程 例2 判定下列函数在何处可导，在何处解析? 解 (1) u=x, v= -y 则 C-R方程成立当且仅当 a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2 解： 例4 1. 指数函数 2. 对数函数 3. 三角函数和双曲函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数 §2.3 初等函数 1.定义 注1 注2 三 指数函数 例1 解： 2.性质 回顾： 仅在点z = 0处满足C-R条件，故 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则