数列极限的几种求法-毕设论文.doc

本科生毕业论文（设计） 数列极限的几种求法 目录 1 引言 1 2 关于数列极限两种最常见的求法 1 2.1 定义法 1 2.2 两边夹原则 3 3 几种判别数列极限存在的方法 4 3.1 单调有界定理 4 3.2 柯西收敛准则 6 4 利用函数性质求极限 10 4.1 海涅定理 10 4.2 重要极限的应用 12 5 其它方法 14 5.1 施笃兹定理法 14 5.2 级数性质法 17 5.3 定积分定义法 17 5.4 错位法与拆分法 19 数列极限的几种求法 摘 要：主要介绍了极限的几种求法,并以几个实例来加以说明. 关键词：数列;极限;求法 Several Methods of Finding the Sequence limit Abstract: Several methods of Finding the sequence limit are introduced and some examples are used to explait them. Keyword：quence ; limit; solution 1 引言 数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础.同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛.虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等.因此通过比较研究，实例对比总结结论以获得对知识更深的理解就显得极其重要. 2 关于数列极限两种最常见的求法 2.1 定义法 定义2.1.1[4] 设为数列,为实数,若对任给的正数 总存在正整数 使得当时有 则称数列收敛于 实数称为数列的极限,并记作或. 例2.1.2[1] 设证明 证明 因为故(取), ,有 于是 由的任意性知 例2.1.3[6] 用语言证明 证明 设 由于 所以 由二项式定理得 因此 解此不等式得应取 用语言表述即为:即 当时，有 这就说明了 小结 设通过以上例子总结出运用论证法的大致步骤: 任意给定 令 推出 取 再用语言顺述并得出结论. 以上是对已知数列极限存在的情况下求数列极限,那么对于一个给定的数列,当它满足什么条件时才能保证这个数列的极限存在呢?下面给出的迫敛性法则有助于我们找到结论. 2.2 两边夹原则 定理 2.2.1[2] 设收敛数列,都以为极限,数列满足存在正整数 当时有， 则数列收敛，且 例 2.2.2[5] 求极限 解 利用得 从而 又由于 所以有 故 例2.2.3[4] 求极限（北京大学1999年） 解 由题意立即可得 又有　　 同理可得 因此　 小结:运用两边夹原则的关键在于将数列进行适当地放大与缩小,一般是从数列本身结构出发,将其通项放大后得数列,缩小后得数列 并使与的极限都存在且相等,放缩的技巧基本上类似应用定义法证数列极限时的常用方法,关键在于掌握不等式放缩的各种方法. 但事实上很多数列不一定就有一定规律的或者很容易使用两边夹原则就可以求之的,而且有的数列是有极限还得进行判断,这时就得引入判别数列极限存在的定理. 我们已经知道,收敛数列必定有界,但有界数列却不一定收敛,那么对于有界数列,我们应该附加什么条件,才能保证它收敛呢? 3 几种判别数列极限存在的方法 3.1 单调有界定理 定理3.1.1[1] 在实数系中,有界的单调数列必有极限. 注:定理中的两个条件（单调和有界）缺一不可,如数列是有界的,但它不满足单调性,由以前学习所知,它的极限并不存在,又如数列显然是单调的,但它无界,显然它的极限不存在. 此定理中“单调有界”的条件是充分的,然而并非必要.例如的极限存在,但它不具备有单调性. 例3.1.2[2] 设 求 （华南理工大学1998年） 解 由题意可得, 且 又 所以数列单调减少有下界，从而收敛.不妨设 对两端取极限可得 解得 (舍去) 因此 例3.1.3[9] 证明 证明 令 则显然是严格单调递增的， 又因为 故有上界.因此收敛