实变与泛函_ch4.ppt

定义 4.5.2 设 与 为同一数域 上的两个赋范空间, 是线性算子,若 是可逆算子,且 有界,则 为正则算子. 定理4.5.1（Banach逆算子定理）设 与 为两个Banach空间,若 ,且 是 的1–1对应, 则 有界,即 为正则算子. 引理 1 设 为线性赋范空间 的稠密子集,则对 , ,有 ,其中 ,且 . 引理 2 在定理4.5.1的条件下,令 ,则存在一个 在 的某个闭球中稠. 引理 3 在定理4.5.1的条件下,必存在一个 ( 的定义如引理2)在 中稠密. 例 4.5.1 设线性空间 关于范数 与 均成为Banach空间,若 比 更强,则 与 等价. 4.5.2. 闭图象定理 设 和 为同一数域 上的两个线性赋范空间,令 在 中定义加法与数乘: 在上述加法与数乘下成为一个线性空间.又在 中定义: 或 ,则 成为一个线性赋范空间,则称 为 与 的乘积空间,记为 . 定义 4.5.3 设 与 为同一数域 上的两个线性赋范空间, ,令 ,称 为算子 的图象.若 为 的闭集,则称 为闭算子. 引理1 设 与 为两个线性赋范空间,若 为连续算子(特别 是线性有界算子),且 为 中的闭集,则 为闭算子. 思考题 设 ,则 闭 ,若 ,则 ,且 . 例 4.5.2 考虑例4.2.5微分算子 , , 则 是无界线性算子,但 是闭算子. 定理 4.5.2 （闭图象定理）设 与 均为Banach空间,若 是 到 的闭线性算子,则 有界. 例 4.5.3 设 为可数矩阵,且 ,对 ,定义 ,则 是 上的连续算子. 4.5.3. 共鸣定理 在介绍本定理之前,先看看Fourier级数中的一个问题,若 是在 上可积且绝对可积的实函数,则可知 的Fourier级数为: Dirichlet定理给出,若 为上以 为周期的实连续函数,而 在任何有限区段上逐渐光滑,则在 上有: 当然,Dini定理还把后一条件减弱为 处处可导.我们问,仅有前一条件,而 ,上述结论是否成立？回答是否定的.1876年,P. du Bios Reymoud用泛函分析给出了一个反例. 定理 4.5.3 (Banach-Steinhaus共鸣定理) 设 是Banach空间, 是线性赋范空间, , 为一个指标集,则 有界 对每个固定的 , 有界. 推论 设 为Banach空间, 是线性赋范空间, ,若对 , 均在 中收敛,则 有界. 注:对 ,