实用工程数学教学课件作者盛光进电子教案5集合与关系课件.ppt

5.2 关系 六、等价关系和偏序关系 定义11 设R是非空集合A上的关系。若R是自反的、对称的和传递的, 则称R是A上的等价关系. 如果R是一个等价关系,且x,y ∈R,则称元素x等价于y,记作x~y。 等价关系 = 自反性 + 对称性 + 传递性 由于R是对称的，若a等价b，则b也等价a；a与b彼此等价。 5.2 关系 【例1】 设有一个整数集 Z 上的关系R： R={x,y|x-y 可被3整除}， 求证这个关系是等价关系。 【证】 ①对每个x?Z, x-x可被3整除，所以R是自反的。 ②对于x, y?Z, 如果x-y能被3整除，则y-x也能被3 整除，所以R是对称的。 ③对于x, y,u?Z, 如果有x-y，y- u均能被3整除，则 x-u =(x-y)+(y-u)亦能被3整除，所以R是传递的。 【例2 】（1）设A={1,2,3,4,5,6,7,8}, R为A上的关系 R={x,y|x,y ∈ A ∧ x=y(mod 3)} 其中， x=y(mod 3)的含义就是x-y可以被3整除。 这个关系亦是等价关系. 5.2 关系 【例2】 （2）设 A={1,2,3,4,5,6,7,8}, R为A上的关系 R={x,y|x-y 可被3整除}， 它的关系图如下: 5.2 关系 [x]R={ y | y ∈ A 且 x ,y ∈ R} 称[x]R为x关于R的等价类, 简称为x的等价类, 简记为[x]. 【例3 】设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R为A上的关系,且等价关系中 等价类为：[ 1 ]=[ 4 ]=[ 7 ]={ 1, 4, 7 } [ 2 ]=[ 5 ]=[ 8 ]={ 2, 5, 8 } , [ 3 ]=[ 6 ]={ 3, 6 }. R={ 1,1,2,2,3,34,4,5,5,6,6,7,7, 8,8 , 1,4,1,7,4,7,4,1,7,1,7,4,2,5} ,2,8,5,8, 5,2,8,2,8,5,3,6,6,3｝. 【定义12】 设R是非空集合A上的等价关系 ,对于A的任何元素x ，A中与x等价的元素构成的集合(记作[x]R ): 5.2 关系 【定理3】 设R是非空集合A上的等价关系,对任意的x, y∈A, 下面的结论成立. (1) [x]≠φ，且[x]?A . (2) 若x,y ∈R ，则[x]=[y] . (3) 若x,y ∈R, 则[x]与[y]不交, 即[x] ∩[y] = φ . (4) ，即所有等价类的并集就是A. 【例2】 中，A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 的等价关系R的等价类： [1]=[4]=[7]={1,4,7}， [2]=[5]=[8]={2,5,8}， [3]=[6]={3,6}. 以上3 类两两不交，并且 {1,4,7}?{2,5,8}?{3,6} = {1,2, … ,8}. 5.2 关系 【定义13】 设R为非空集合A上的等价关系, 以R的所有 等价类作为元素的集合称为A关于R的商集, 记做 A/R, A/R = { [x]R | x∈A }. 例如， A={1,2,…,8}，A关于模3等价关系R的商集为 A/R = { {1,4,7}, {2,5,8}, {3,6} }. A关于恒等关系和全域关系的商集为： A/IA = { {1},{2}, … ,{8}}. A/EA = { {1, 2, … ,8} }. 5.2 关系 【例如】 设A= {a,b,c,d}, 给定A 如下： A1={{a},{b,c}, {d}}, A2={{a,b,c,d}}, A3={{a,b},{c}, {a,d}}, A4={φ,{a,b}, {c,d}}, A5={{a},{b,c}}. 问：哪些是A的划分？