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6.2 等值演算和蕴涵 一、等值演算 【注意】两命题公式的等价实际上就是二者表达的是同一回事.根据定义判断 A和 B是否等值等价于判断 A、B 的真值表是否相同. 【定义 1】 设A 和 B为两个命题公式，如果 A和B 在任何相同的赋值下， A和B 的真值都相同，则称 和 等值（等价），记为 . “ ”不是联结词, 而是表示公式间的关系符号. 不表示一个公式，只是表示 A与 B的等价关系．而“ ”是联结词， 表示一个公式． 6.2 等值演算和蕴涵 【例1】 证明下列等值式: 【解】利用真值表来证明两个公式的等值 (1)列出真值表： (1) . (2) . 由表知，公式 和 所在两列上的取值一一对应相等,所以两公式等值. 6.2 等值演算和蕴涵 (2)列出真值表： 由表知，公式 和 所在两列上的取值一一对应相等,所以两公式等值,即合取式的结合律成立. 6.2 等值演算和蕴涵 常用的重要等值式（ A,B,C代表任意的命题公式）. (1)双重否定律 . (2)等幂律 ． (3)交换律 . (4)结合律 (5)分配律 (6)吸收律 (7)德.摩根律 6.2 等值演算和蕴涵 (8)同一律 (9)零一律 (10)否定律 (11)蕴涵等值式 (12)等价等值式 在以上等值式中，由于 A,B,C代表的是任意的命题公式，因此每个等值式都是一个模式，它可以表示无数个同类型的等值式． 由已知的等值式推演出新的等值式的过程称为等值演算． 6.2 等值演算和蕴涵 等值演算的基础（命题公式等价具有的性质）： 【定理２】（置换规则）设 是一个含有公式 A的命题公式， 是用公式B 置换了 中所有的 A后得到的命题公式．若 ． (1) 自反性: . (2) 对称性: 若 ,则 . (3) 传递性:　若 ，则 . 6.2 等值演算和蕴涵 【例2】 证明:(1) (2) （3） 【证明 】 证明两个命题公式等值可以从其中任何一个开始演算. (1)因为 　 　 (吸收律) 所以 　 6.2 等值演算和蕴涵 (2) (蕴涵等值式) (结合律) (德.摩根律) (蕴涵等值式) (3) (蕴涵等值式) (结合律) (德.摩根律) (蕴涵等值式) 6.2 等值演算和蕴涵 【例 3 】 判断下列公式的类型. （1） （2） (3) 【解】 （1） (蕴涵等值式) （结合律) (否定律) (零一律) 由此可知，（１）式为重言式. 6.2 等值演算和蕴涵 (2) 由此可知，(2)为矛盾式． 6.2 等值演算和蕴涵 (3) 观察此结果可知，10是它的成假赋值，11是它的成真赋值．因此(3) 既不是矛盾式，也不是重言式，而是非重言式的可满足式． 【定理1】 命题公式 和 等价当且仅当 为重言式. 【总结】(1)在进行等值演算时，演算步骤不唯一，应尽量使