实用工程数学教学课件作者盛光进电子教案7图论2课件.ppt

7.5 树 前面我们讨论的树，都是一个无向图，下面我们讨论有向图的树。 【定义4】如果一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树，那么，这个有向图称为有向树。 （a） （b） 二、根树及其应用 7.5 树 【定义2】 一棵有向树，如果恰有一个结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1，则称为根树。入度为0的结点称为树根，出度为0的结点称为树叶，入度为1, 出度大于0的顶点称为内点，树根与内点的称为分支点。 【例1】 判断下图是否是根树？ 有向树但不是根树 根树 如右图所示 a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4． 7.5 树 根树的画法：树根放上方,省去所有有向边上的箭头。 结点V的层数：从树根到v的通路长度． 树高：树中结点的最大层数． 7.5 树 【实训3】指出下图中的树根、树叶、内点、分支点、各结点的层数及树高。 　【答案】右图中结点v2, v3 , v4都在树的第一层. 结点v5, v6 , v7 , v8 , v9都在树的第二层. 结点v10, v11 , v12 都在树的第三层. 　此根树的树高为3. 家族树 【定义】 把根树看作一棵家族树: (1) 若顶点 a 邻接到顶点 b, 则称 b 是 a 的儿子, a 是 b 的父亲; (2) 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是兄弟; (3) 若a?b且a可达b, 则称a是b的祖先, b是a的后代. 设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其所有后代的导出 子图为以v为根的根子树. 7.5 树 7.5 树 　　【定义6】(1) 如果将根树Ｔ的每一层的结点都规定次序， 则根树Ｔ称为有序树． 有序树的次序可以排在顶点处，也可以排在边上，次序常常 是从左向右，不一定是连续的。 1 2 2 2 3 1 2 2 1 1 1 1 C 由于在根树数中有向边的方向均一致（向下），故可省略 掉方向。如上图（b）可用图（c）代替。 7.5 树 【定义6】(2) 在根树中，若每一个结点的出度小于等于m，则称这棵树为m元树。当m=2时称为二元树。 二元树 三元树 7.5 树 【例2】 M 和E两人进行网球比赛，如果一人连胜两盘或 共胜三盘就获胜，比赛结束。表示出比赛的各种可能情况。 【解】可以用根树表示如下. 从根到树叶的每条路表示 一种情况。如路EMM表示E胜第一盘后，M连胜两盘。 共有10片树叶，所以共有10种比赛情况。如 EE，EMEE，EMEME，…， ＭＭ． 最优2元树 7.5 树 【定义】 设2元树T有t片树叶v1, v2, …, vt, 树叶的权分别为w1, w2, …, wt , 称 为T的权, 记作W(T), 其中l(vi)是vi的层数. 即 在所有有t片树叶, 带权w1, w2, …, wt 的 2元树中, 权最小的2元树称为最优2元树. 7.5 树 如图所示的2颗树，都是带权1,3,4,5,6的二元树。 1 5 4 3 6 1 5 4 3 6 7.5 树 用此算法求上例的最优二元树： 给定实数w1,w2, … ,wt , 且w1 ≤w2 ≤ … ≤ wt , （1）连接权为w1,w2的两片树叶, 得一个分支点其权 为w1+w2 。 （2）在w1+w2 ,w3, … ,wt中选出两个最小的权, 连接 它们对应的顶点(不一定是树叶), 得新分支点及 所带的权。 （3）重复 ( 2 ), 直到形成t-1个分支点, t片树叶为止。 Huffman算法 —— 一种求最优二元树的算法 W(T)等于所有分支点的权之和. 7.5 树 。 。 。 4 3 7 (1) 【例3】 求带权 3,4,5,6,12的最优二元树。 【解】共分为四个步骤： 6 (2) 3 4 7 5 11 6 5 4 3 7 11 18 (4) 3 4 5 6 7 11 18 12 30 (3) 7.5 树 【例4】 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 【解】解题过程由下图给出. W(T)=2+4+7+16+9 = 38 。 7.5 树 最优二叉树在通信编码中的应用 【定义8】 设