实用经济数学教学课件作者盛光进电子教案4积分及其应用课件.ppt

4.4 定积分的计算 一、微积分基本公式 【定理1】 如果函数 是连续函数 在区间 上的一个原函数，则 　　为书写方便，公式中的　　　　　 通常记为 　　　．因此上述公式可写成 在区间 上的定积分等于 的某一个原函数 在两端点处的函数值之差， 一、微积分基本公式 求定积分 所以，由牛顿——莱布尼茨公式有 解 【例1】 4.4 定积分的计算 一、微积分基本公式 求定积分 【例2】 解 4.4 定积分的计算 一、微积分基本公式 求定积分 【例3】 解 【思考】求定积分与求不定积分的运算过程有什么异同之处？ 4.4 定积分的计算 一、微积分基本公式 设 ，求 【例4】 解 由定积分对区间的可加性，有 4.4 定积分的计算 二、定积分的换元积分法 4.4 定积分的计算 　　设函数　　在　　上连续，　　 满足　 (1) (2) 当 从 变化到 时， 单调地从 变化到 ； (3) 在 上连续． 则 上式称为定积分的换元公式 ． 【定理２】 注意：换元必换限 ； ． 二、定积分的换元积分法 4.4 定积分的计算 【例5】 ； ． 计算 令 且当 时， 。所以 ; 当 时， 解 二、定积分的换元积分法 4.4 定积分的计算 【例6】 ； ． 计算 令 , 则 且当 时， 。所以 ; 当 时， 解 二、定积分的换元积分法 4.4 定积分的计算 【例7】 ； ． 计算 解：令 ,则 , 且当 时， 。所以 当 时， 二、定积分的分部积分法 4.4 定积分的计算 ； ． 　　 设函数 ， 在区间 上具有连续导数，则 或 二、定积分的换元积分法 4.4 定积分的计算 【例8】 计算 解 解 ； ． 计算 【例9】 二、定积分的换元积分法 4.4 定积分的计算 【例10】 ； ． 计算 解 二、定积分的换元积分法 4.4 定积分的计算 ． 【案例1】（广告销售）某商店利用媒体进行化妆品宣传，在做广告后第 天的化妆品销售变化率为 （件／天），求该商店在广告宣传后10天内化妆品的销售量（件）． 解从做广告开始到第10天结束，化妆品的累计销售量为 二、定积分的换元积分法 4.4 定积分的计算 【案例2】收入预测）中国人的收入正在逐年提高．据统计，深圳2002年的人均年收入为21 914元。假设这个人均收入正以速度 （单位：元/年）增长,这里是从2002年年底开始算起的年数,估算2009年深圳的人均年收入是多少？ 解设第 年深圳的人均年收入为　 ,因 　 ，故由变化率求总改变量，得从2003年到2009这７年间深圳人均年收入的总增长为 一、无穷区间上的广义积分 4.5 广义积分 ． ? 　　由曲线 与 轴、 轴所“围成”的开口图形的面积A如何求？ 一、无穷区间上的广义积分 4.5 广义积分 ． 基本思想： 　　在 上任取一点 ，先求由 与 轴、 轴及 所围成的曲边梯形的面积，即求闭区间 上的定积分 然 后再让 ，所得的极限即为所求开口图形的面积．我们把 称为函数 在区间 上的广义积分． ． 4.5 广义积分 　　设函数　　定义在区间　　 上，任取　 ,如果极限 存在，则称此极限为函数 在无穷区间 上的广义积分，记作 ，即 　　这时也称广义积分 收敛；如果上述极限不存在，则称广义积分 发散． 【定义1】 一、无穷区间上的广义积分 4.5 广义积分 类似地，积分 称为函数 在区间 上的广义积分． 把积分 称为函数 在区间