实用高等数学课件教学课件作者盛光进5定积分及其应用课件.ppt

5.5　应用与实践 二、 平面图形的面积 1．直角坐标系中平面图形的面积 面积 的值等于图形的上边界所对应的函数 与下边界所对应的函数 之差在区间 上的定积分． 5.5　应用与实践 (２)由左、右两条连续曲线 、 （ ）与两条平行直线 、 所围成的图形的面积 的计算公式： 面积 的值等于图形的右边界所对应的函数 与左边界所对应的函数 之差在区间 上的定积分． 5.5　应用与实践 【解】画草图． 　观察上图，运用面积公式Ⅰ可得所求面积为 解方程组 ,得 【案例1】求由曲线 和直线 所围成的平面图形的积． 选 作积分变量．图形在 轴上的投影区间 为定积分的积分区间． 5.5　应用与实践 【解】解方程组 得两交点坐标为(0,0)和(1,1)． 求解面积问题的步骤： (1) 作草图：求曲线的交点，确定积分变量和积分限； (2) 写出面积的定积分表达式； (3) 计算定积分． 【案例2】 计算两条抛物线 与 所围成的面积． 选取 为积分变量，则积分区间为 ，根据面积公式(1) ，所求的面积为 5.5　应用与实践 【解】因为椭圆关于两坐标轴对称，所求椭圆的面积等于椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围图形的面积的4倍，即 令 则 且有 【案例3】　求椭圆 所围成的面积． 5.5　应用与实践 5.5　应用与实践 【解】解方程组 得交点坐标为(2,-2)和(8,4)． 所求的面积为　 【案例4 】求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积． 【另解】选　　为积分变量，根据公式（1）得所求面积 5.5　应用与实践 ※ 2．极坐标系中平面图形的面积 从而得所求曲边扇形的面积为 5.5　应用与实践 【解】用曲边扇形的面积公式计算．由于图形关于极轴对称，所以所求面积为 【例4】求心形线 所围图形的面面积 . 5.5　应用与实践 三、旋转体的体积 由平面图形 绕定直线 旋转一周生成的立体称为旋转体，定直线 称为旋转轴． 1. 连续曲线 与直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周生成的旋转体，其体积可用微元法求得： 在区间 上取小间 ,将该小区间上的旋转体视作底面积为 、高为 的薄圆柱，得体积微元 5.5　应用与实践 则旋转体的体积为 2. 连续曲线 与直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周生成的旋转体体积为 5.5　应用与实践 【例5】 求由椭圆 所围成的图形分别绕 轴和 轴旋转所生成的旋转体的体积． 【解】 由于椭圆关于坐标轴对称，所以所求的体积 是椭圆在第一象限内形成的曲边梯形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积的二倍，即 当绕 轴旋转时，由公式(4) 得 5.5　应用与实践 当绕 轴旋转时，由公式(5) 得 5.5　应用与实践 四、定积分的其他应用 ( 为常数）． 由物理学知识知道：质量为 和 ，相距为 的两质点间的引力为 【例6 】 设有均匀的细杆，长为 ，质量为 ，另有一质量为 的质点位于细杆所在的直线上，且到杆的近端距离为 ，求杆与质点之间的引力． 【解】已知两质点之间的引力公式，所以将细杆分成许多微小的小段，这样可以把每一段近似看成一个质点，而且这许多小段对质量为 　 的质点的引力都在同一方向上，因此可以相加． 5.5　应用与实践 所以细杆与质点之间的引力为 如图所示，取积分变量为 ，在 中的任意子区间 上细杆的相对应小段的质量为