实用高等数学课件教学课件作者盛光进7微分方程与拉普拉斯变换课件.ppt

7.5 拉普拉斯变换 【性质5】 (延迟性质)若 则对于 ，有 【例8】求函数 的拉氏变换. 【解】 因为 ，由延迟性质可得 7.5 拉普拉斯变换 【性质6】 若 ，且 时，则 【性质7】 若 ，则 【性质8】 若 ，则 7.5 拉普拉斯变换 二、拉普拉斯逆变换 ●拉氏变换的逆变换的性质： 【性质10】 (位移性质) 【性质11 】(延迟性质) 【性质9 】(线性性质) 7.5 拉普拉斯变换 【例9】 求下列函数的拉氏逆变换： (3) 由位移性质及附表B中变换4，得 (2) 由线性性质及附表B中变换9、10，得 【解】 (1) 由附表B中的变换10，取 ，得 7.5 拉普拉斯变换 【例10 】 求下列函数的拉氏逆变换： 【解】 (1) 因为 ，所以 (2) 因为 ，所以 7.5 拉普拉斯变换 三、拉普拉斯变换的应用 利用拉氏逆变换，得微分方程的特解为 【例11】求微分方程 满足条件 的特解. 【解】 设 在微分方程两边同时取拉氏变换，得 将条件 代入上式，得 7.5 拉普拉斯变换 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的一般步骤 (1)对方程两端取拉氏变换，并设 ，得出关于像函数 的代数方程； (2)解此代数方程，求出 ； (3)利用拉氏逆变换求出 的像原函数 ，即得到原方程的解. 解得 利用拉氏逆变换，得微分方程的特解为 7.5 拉普拉斯变换 【例12】 求方程 满足 的特解. 【解】 设 ，在微分方程两边同时取拉氏变换，得 将初始条件 代入上式，得 7.6 应用与实践 【例1】 物体的折旧规律（折旧模型）．企业在进行成本核算的时候，经常要计算固定资产的折旧．一般说来，固定资产在任意时刻的折旧额与当时固定资产的价值成正比，试讨论固定资产价值与时间的函数关系. 现有某固定资产五年前购买时的价格为10000元，而现在的价值为6000元，试估算该固定资产再过10年的价值. 7.6 应用与实践 方程 是可分离变量方程，分离变量得 两边积分，得　　 这就是固定资产价值与时间之间的函数关系（即折旧模型）． 所以，方程(1)的通解为 7.2 一阶微分方程 【案例2 】 一降落伞在空中下落，所受空气阻力与速度成正比，当时间 t=0 时，降落伞的速度为零，求该降落伞下落的速度与时间的函数关系. 【解 】设降落伞下落的速度为 v(t). 当降落伞在空中下落时,同时受到重力G与空气阻力R的作用（如下图）.重力大小为mg , 方向与v相同；阻力大小为 kv（k为比例系数）, 方向与v相反 . 因此，降落伞所受的合外力为 F = mg – k v. 根据牛顿第二定律F=ma, 得到v（t）应满足方程 7.6 应用与实践 上方程为一阶非齐次线性方程，其通解为 方程 可转化为 即方程的通解为 如果开始降落时速度为0，即有初始条件 ，则相应的特解（即降落模型）为 7.6 应用与实践 分析这个降落模型 可知，当 时， . 这说明降落伞在降落过程中速度不会无限增加，而是趋于常量 . 一般通过适当地选取常数 后，可以使跳伞运动员大致以2 m/s的速度着地. 7.4 二阶常系数线性微分方程 【例3】弹簧上端固定，下端