实用高等数学课件教学课件作者盛光进9简单实用数学模型课件.ppt

9.3　简明实用数学模型 这是一个变量可分离方程，容易解得 它称为马尔萨斯的人口指数增长模型，它表明任一时刻的人口总数都是按指数规律增长的． 若已知 时人口总数为 ，则有 人口模型 9.3　简明实用数学模型 3.模型检验与应用 我国1990年7月1日的人口总数为11.6亿，过去8年的人口增长率为14.8 ，假定今后的年增长率也保持这个数字，因此， 于是在 年的人口指数增长模型为 用人口指数增长模型（19）估算2000年我国人口的总数约为13.45亿，基本上与实际相符（2000年7月1日我国人口总数为12.95亿）．但用它预测2044年、2090年我国的人口总数分别是25.8亿和50.96亿，这是不符合实际的． 9.3　简明实用数学模型 因为随着人口的增长，自然资源、环境条件因素对人口继续增长的阻止作用越来越明显．因而上述模型中，假设人口增长率为一常数，在时间间隔不太大的情况下是合适的，但当时间间隔增大时，人口增长率会随人口继续增加而逐渐降低．为了使人口预测工作更符合实际，必须修改人口增长指数模型中关于增长率是常数这一基本假设．再根据人口总量有最大容量等因素来建立新的模型． * * * * * * 9.3　简明实用数学模型 【例8 】 房屋抵押贷款.某人用贷款购置住房，贷款采用等额本息还款方式，即在10年内每月末向银行归还同一数额的款项.设银行该项贷款月利率为3.6‰，借款20万元，每月还款为多少？ 【解】 每月末的还款可视作发生在期末的年金A ，所有还款的现值等于贷款总额Q . 由年金现值公式 可求得 即得每月还款的计算公式（或分期付款模型）: 9.3　简明实用数学模型 即得每月还款的计算公式（或分期付款模型）: 其中 A为每月末的还款数， Q为贷款总额， R为月利率， 为贷款总月数. 故分期付款模型（9）可表示为 将已知条件 ， 代入分期付款模型⑼，可得 （万元），即每月应还款2055.46元． 9.3　简明实用数学模型 四、鱼群的适度捕捞模型 1. 问题描述 鱼群是一种可再生的资源。若现在的鱼群总数，经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数会发生变化．鱼群在自然环境中生长，为了充分发挥自然环境的作用，最大限度的利用自然资源，必须保持鱼群数量的稳定．因此在捕鱼时必须注意适度捕获．问鱼群的数量控制在多大时，才能获取最大的持续捕捞量？下面来建立鱼群的适度捕捞模型． 9.3　简明实用数学模型 2.模型构建与求解 假设鱼群的年自然生长率为R ，自然环境所能容纳的最大鱼群数量为 N，目前鱼群的总数为 （单位 ： ），经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数为 ． 反映 与 之间相互关系的曲线称为再生曲线，记为 ．为使鱼群的数量保持稳定，在捕鱼时必须控制捕捞的数量。问鱼群的数量控制在多大时，才能获取最大的持续捕捞量？ 9.3　简明实用数学模型 现在研究鱼群的再生曲线．假设鱼群的自然生长率 为 ，故一般可认为 ，但是，由于自然环境的限制，当鱼群的数量过大时，其生长环境就会恶化，导致鱼群增长率的降低。为此，我们乘上了一个修正因子 ．因鱼群的再生曲线为 （其中 是鱼群的自然生长率， N 是自然环境能够负荷的最大鱼群数量）． 所以 假设每年的捕获量为 ，则第二年的鱼群总量为 要限制鱼群总量保持在某一个数值 ，则 ， 9.3　简明实用数学模型 由于 只有一个驻点，且该实际问题存在最大值，故该驻点就是最大值点． 现在求 的最大值： 由 ，得驻点 ． 因此，鱼群规模控制在 时，可以使我们获得最大的持续捕捞量．此时 9.3　简明实用数学模型 所以鱼群的最大持续捕捞模型为 其中