-拉普拉斯变换.PPTVIP

* 第一节 函数及其图形 5.3 拉普拉斯变换 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例 [自动控制] 在自动控制系统的分析和综合中，线性定 如何求解此微分方程呢？ 常系统由下面的n阶微分方程描述 二、 概念和公式的引出 拉氏变换 设函数f (t)的定义域为 ，若反常积分 对于p在某一范围内的值收敛,则此积分 函数F(p)称为f (t)的拉氏变换(或称为f (t)的象函数，函数f (t)称为F(p)的原函数，以上公式简称为拉氏变换式，用记号L[f (t)]表示，即 就确定了p的函数,记作 (2)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,是一种积分变换,一般地在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的,故以后不再对其存在性进行讨论． 假定t0时, f (t) =0; 说明： (1)定义中,只要求在 上f (t)有定义,为了方便, 三、进一步的练习 练习1 [一次函数] 求一次函数f (t) =at (a为常数)的拉氏变换. 解 当p0时，有 练习2 [指数函数] 解 这个积分当pa时收敛，此时 求 的拉氏变换 。 练习3 [三角函数] 求函数 f (t) =coswt的拉氏变换 。 解 当p0时，有 类似地 在许多问题中,常会遇到只有在极短时间作用的量,如电路中的脉冲电动势作用后所产生的脉冲电流,要确定某瞬间(t=0)进入一 无法找到一般的函数能够表示脉冲电流的强度,为此,引入了一个新的函数来表示.这个函数叫狄拉克函数. 表示上述电路中的电量. 单位电量的脉冲电路上的电流,用 狄拉克函数 设 当 时, 称为狄拉克函数, 简称为 函数.在工程技术中常称为单位 脉冲函数，即 如图所示. 因为 ,故狄拉克函数有如下性质. 设g(t)是 上的一个连续函数，则有 狄拉克函数的性质 练习4 [狄拉克函数的拉氏变换] 求狄拉克函数的拉氏变换． 解 即 一、案例[单位阶跃函数] 已知单位阶跃函数 的拉氏变换为 ,如何求函数 的拉氏变换？ 二、 概念和公式的引出 性质1(线性性质) 若a1,a2为常数，设 关于原函数导数的拉氏变换． 则 性质2(微分性质) 设 则： 此性质可推广到n阶导数,特别是当各阶导数初值为 时，有 关于象原函数积分的拉氏变换. （n为自然数，p0） 性质3(积分性质) 性质4(平移性质) 设 则 设 则 性质5(延滞性质) 性质6(象函数的相似性质) 设 则 设 则 性质7(初值定理) 设 且f(t)连续 可导，则 或 性质8（终值定理） 设 则