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22平面向量基本定理
2.2.1平面向量基本定理 平面向量基本定理 * * 如图，设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，试用e1、e2表示向量 设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，可以作出该平面内给定的向量a在e1、e2两个方向上分解得到的向量， 问题：（1）向量a是否可以用含有e1、e2的式子来表示呢？怎样表示？ （2）若向量a能够用e1、e2表示，这种表示是否唯一？请说明理由. 如果e1、e2是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数a1、a2，使 说明：① e1、e2是两个不共线的向量； ② a是平面内的任一向量； ③ a1，a2实数，唯一确定. a1e1+a2e2=xe1+ye2, (x－a1)e1+(y－a2)e2=0 我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}， a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式。 例1. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，设 ， ，试用基底{a，b}表示 例 2. 已知A, B是l上任意两点，O是l外一点，求证：对直线l上任一点P，存在实数t，使 关于基底{ }的分解式为 根据平面向量基本定理，同一平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，再由已知可得 令t= , 点M是AB的中点，则 例3.已知平行四边形ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点且 ，用 表示 . 解：设 例4. 已知向量 不共线， 如果向量 与 共线, 求λ . 解：由已知得 所以 解得λ =±1. *
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