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8可降阶的高阶微分方程
E-mail: xuxin@ahu.edu.cn §5 可降阶的高阶微分方程 定义 称二阶及二阶以上的微分方程为高阶微分方程 方程 y (n) = f (x) 1. y(n) = f (x)型的微分方程 右端仅含有自变量x，容易看出，只要令y (n－1) = p 则p=f(x);则原方程可以看成是一阶微分方程，两边 积分就得到一个n－1阶的微分方程： 同理可得： 这样经过n次积分，即得到原方程的通解。 例1. 解方程 解: 连续积分两次，得： 例2. 解方程 解: 连续积分三次，得： 2. 不显含y型: 解法: 令 y=p, 则 则 设其通解为 p=? (x, C1) 则 故得 例3 解方程 y+ y=x2 的通解 解: 则 利用一阶非齐次线性微分方程求解方法，得通解为： 又 解得通解为： 令y=p, 则 （一阶线性方程） 例4 解方程(1+x2)y//–2xy/=0满足初始条件 解：令y=p, 则 （可分离变量） 由y/|x=0=3 可得C1=3，则y/=3(x2+1) 两边积分得： y=x3+3x+C2 通解为： 由y|x=0=1 可得C2=1，则y=x3+3x+1 3. 不显含x型： 解法： 令y=p, 有 代入方程得 y=f (y, y) 这是一个关于p，y的一阶微分方程， 设其通解 p=? (y, C1) 则 分离变量并积分得 例5 解方程 2yy+y2=0 解：设y=p, 则 分离变量有 积分得 故
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