7随机变量函数的分布.PPTVIP

2.7 随机变量函数的分布 第一章第二 阶段小结. * * 在实际问题中，我们常对某些随机变量的函数更感兴趣。 例如，设随机变量X是圆轴截面的直径，Y是截面的面积，则Y 是 X 的函数，即 又如，某商品的单价为a，销售量X是随机变量，则销售 收入 Y 是 X 的函数，即 Y = aX 。 一般地，若 y＝f（x）是定义在直线上的一个单调函数 或分段连续函数，X是一个随机变量，那么Y＝f（X）作为随 机变量 X 的函数，同样也是一个随机变量。 我们要讨论的问题是如何由X的分布去求 Y＝f（X） 的 分布。由于函数关系在现实世界中大量存在，这个问题无论 在理论上或应用中都有重要意义。 1、离散型随机变量函数的分布律 设X一个随机变量，分布律为 X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, … 若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量。求Y的分布律. 一般的， g(x) 是一个连续函数 例1 已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解 Y 1 pi -3 -1 1 3 Y 2 pi 1 0 1 4 Y 2 pi 0 1 4 或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）即： 一般地 X Pk Y=g(X) 的值有相等时，则应先把那些相等的值 的概率分布 分别合并，同时把它们所对应的概率相加，即得出 例2 （p48） 已知 X 的概率分布为 X pk 1 2 … n … 2n 1 …. 22 1 2 1 求 Y =cos（ X）的分布律 … 已知 X 的d.f. f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的d.f. 方法： （1） 从分布函数出发 （2）用公式直接求d.f. 2、连续型随机变量函数的密度函数 （1）从分布函数出发 若X?f(x),-?x+?,Y=g(X)为随机变量X的函数，则可先求Y的分布函数 FY (y) ＝P{Y?y}＝P {g(X) ?y}＝ 然后再求Y的密度函数 此法也叫“ 分布函数法” 例3.设X的密度函数为 解：先求Y的分布函数，再求其密度函数 一般地,若X～fX(x), y=g(x)是区间（a，b）上单调可导函数，其反函数h(y)连续可导. 且 注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以 上公式推求Y的密度函数。 2、 注意定义域的选择 （2）公式法 则Y=g（X）的密度函数为 例4 设X?U(0,1),求Y=ax+b的概率密度.(a≠0) 解: Y=ax+b关于x严单,反函数为 故 而 故 例5 证明：设 X ~ N (? ,?2) , Y = a X +b, 则 即：Y ~ N ( a? +b, a2?2 ) 特别地 ，若 X ~ N ( ? ,? 2) , 则 设随机变量X服从[0，2?]均匀分布，求Y=sin(X)的概率密度。 定理23 若X～fX(x) ，y=g(x)关于X分段严格单调，且在第i个单调区间上，反函数为hi(y),则Y=g(X）的概率密度为 例6 设随机变量X服从N(0,1)标准正态分布，求Y=X2的概率密度.